Determinar a transformação linear T: R^2 R^3 tal que T(1,1)=(1,1,1) e T(1,2)= (1, 0, 0).

Passo 1

O exercício pede para determinar uma transformação linear T: R^2to R^3 com duas imagens conhecidas: T(1,1)=(1,1,1) e T(1,2)=(1,0,0). Vamos usar o fato de que toda transformação linear de R^2 a R^3 pode ser representada por uma matriz A=[,a;b,], em que a=T(e1) e b=T(e2).

Passo 2

Como T é linear, vale
T(1,1)=T(1cdot e1+1cdot e2)=a+b=(1,1,1),
e
T(1,2)=T(1cdot e1+2cdot e2)=a+2b=(1,0,0)
Isso nos dá um sistema para a e b.

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
(a+2b)-(a+b)=b=(1,0,0)-(1,1,1)=(0,-1,-1)
Assim encontramos b=(0,-1,-1).

Passo 4

Agora usamos a+b=(1,1,1) para achar a:
a=(1,1,1)-b=(1,1,1)-(0,-1,-1)=(1,2,2)
Portanto a=(1,2,2) e b=(0,-1,-1).

Passo 5

A matriz de T é
A=[,a;b,]= 1 & 0 2 & -1 2 & -1 ,
e para um vetor genérico (x,y) temos
T(x,y)=x,a+y,b=(x,2x-y,2x-y)

Resposta

T(x,y)=(x,,2x-y,,2x-y).

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