Considere o espaço vetorial M2 times 2(R). Mostre que o conjunto W=A in M2 times 2(R): tr(A)=0 é um subespaço e determine sua dimensão.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
é um subespaço de e para encontrarmos . O conteúdo envolvido é o de subespaços vetoriais e dimensão, usando o fato de que a função é um funcional linear.

Passo 2

Primeiro verificamos que não é vazio. Como , a matriz zero . Logo .

Passo 3

Agora mostramos que é fechado sob soma. Tome . Então e . Como a traço é linear,
logo .

Passo 4

Mostramos que é fechado sob multiplicação por escalar. Seja e . Então e
logo . Assim é subespaço.

Passo 5

Para achar , usamos que é um funcional linear sobre o espaço de dimensão . O núcleo de é exatamente . Pelo teorema do posto e nulidade,
Alternativamente, uma base explícita de é
são três matrizes linearly independentes em que geram .

Resposta

;W é subespaço de M2times2( R) e dim(W)=3.

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