Considere o espaço vetorial
. Mostre que o conjunto
é um subespaço e determine sua dimensão.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
é um subespaço de
e para encontrarmos
. O conteúdo envolvido é o de subespaços vetoriais e dimensão, usando o fato de que a função é um funcional linear.
Passo 2
Primeiro verificamos que
não é vazio. Como , a matriz zero
. Logo
.
Passo 3
Agora mostramos que
é fechado sob soma. Tome
. Então e . Como a traço é linear,
logo
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então e
logo
. Assim
é subespaço.
Passo 5
Para achar
, usamos que é um funcional linear sobre o espaço de dimensão
. O núcleo de é exatamente
. Pelo teorema do posto e nulidade,
Alternativamente, uma base explícita de
é
são três matrizes linearly independentes em
que geram
.