Seja S=(1,2,3),(0,1,1),(1,3,4). Determine se (2,5,7) é combinação linear dos vetores de S.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o conjunto
S = (1,2,3),,(0,1,1),,(1,3,4)
em R^3 e queremos saber se (2,5,7) pertence ao subespaço gerado por S, ou seja, se é combinação linear dos vetores de S. Para isso, vamos procurar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha(1,2,3) + beta(0,1,1) + gamma(1,3,4) = (2,5,7)

Passo 2

Montamos o sistema de equações componente a componente:
alpha + 0beta + gamma = 2, 2alpha + beta + 3gamma = 5, 3alpha + beta + 4gamma = 7

Passo 3

Da primeira equação vem
alpha = 2 - gamma
Substituindo em 2alpha + beta + 3gamma = 5 obtemos
2(2 - gamma) + beta + 3gamma = 5 Longrightarrow 4 - 2gamma + beta + 3gamma = 5 Longrightarrow beta + gamma = 1 Longrightarrow beta = 1 - gamma
Agora checamos a terceira equação:
3(2 - gamma) + (1 - gamma) + 4gamma = 7 Longrightarrow 6 - 3gamma + 1 - gamma + 4gamma = 7 Longrightarrow 7 = 7,
que é uma identidade, valendo para todo gamma.

Passo 4

Concluímos que o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções). Logo (2,5,7) está no span de S. Por exemplo, tomando gamma = 0 segue
alpha = 2, beta = 1, gamma = 0,
e de fato
2(1,2,3) + 1(0,1,1) + 0(1,3,4) = (2,5,7)

Resposta

Sim, (2,5,7) é combinação linear dos vetores de S. Por exemplo,
(2,5,7) = 2,(1,2,3) ;+; 1,(0,1,1);+;0,(1,3,4)

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