Seja . Verifique se é linearmente independente em .
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
no espaço vetorial (polinômios de grau ) e pede para verificar se esses vetores (polinômios) são linearmente independentes. Para isso, vamos usar a definição: é linearmente independente se, na combinação linear nula, todos os coeficientes forem zero.
Passo 2
Considere uma combinação linear genérica desses três polinômios e imponha que ela seja o polinômio zero:
Passo 3
Desenvolvendo e agrupando termos por potência de
Como esse polinômio é identicamente zero, os coeficientes de , de e o termo constante devem ser todos zero:
Das duas primeiras equações temos . Substituindo na terceira,
Passo 4
Concluímos que a única solução para alpha,beta,gamma é a trivial alpha=beta=gamma=0. Isso significa que não há combinação não trivial que produza o polinômio zero.