Seja S=x^2+1, x+1,1. Verifique se S é linearmente independente em P2.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=,x^2+1,;x+1,;1
no espaço vetorial P2 (polinômios de grau <=2) e pede para verificar se esses vetores (polinômios) são linearmente independentes. Para isso, vamos usar a definição: S é linearmente independente se, na combinação linear nula, todos os coeficientes forem zero.

Passo 2

Considere uma combinação linear genérica desses três polinômios e imponha que ela seja o polinômio zero:
alpha,(x^2+1);+;beta,(x+1);+;gamma;;=;;0

Passo 3

Desenvolvendo e agrupando termos por potência de
Como esse polinômio é identicamente zero, os coeficientes de , de e o termo constante devem ser todos zero:
Das duas primeiras equações temos . Substituindo na terceira,

Passo 4

Concluímos que a única solução para alpha,beta,gamma é a trivial alpha=beta=gamma=0. Isso significa que não há combinação não trivial que produza o polinômio zero.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente em P2.

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