Seja U=span(1,0,1),(0,1,1) e V=span(1,-1,0). Verifique se R^3=U oplus V.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
R^3 = U oplus V,
onde
U = span(1,0,1),(0,1,1) e
V = span(1,-1,0).
Lembrando que Uoplus V = R^3 significa duas coisas:
  1. U+V = R^3 (a soma gera todo R^3), e
  2. Ucap V = 0 (a interseção é só o vetor zero).

Passo 2

Vamos primeiro mostrar que todo vetor de V está em U.
Um vetor genérico de V é
v = a,(1,-1,0), ainR
Queremos escrever v como combinação de (1,0,1) e (0,1,1).
Sejam b,cinR tais que
b,(1,0,1) + c,(0,1,1) = (b,;c,;b+c) = (a,,-a,;0)
Comparando coordenadas, obtemos
b = a, c = -a, b+c = a+(-a)=0,
que satisfaz exatamente a terceira coordenada. Logo todo v=a(1,-1,0) está em U.
Isso mostra que Vsubseteq U, portanto
Ucap V = Vneq0

Passo 3

Como a interseção não é apenas o vetor zero, a condição Ucap V=0 falha.
Além disso, de fato U+V = U (pois Vsubseteq U), e dim(U)=2<3, então não se gera todo R^3.

Resposta

Não. Temos Ucap V=Vneq0 e U+V=UneqR^3, logo R^3neq Uoplus V.

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