Seja
. Encontre uma base e a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado define
e pede uma base e a dimensão de
. O conteúdo é subespaço de
dado por uma única equação linear, ou seja, o núcleo de uma forma linear, e vamos usar parametrização para encontrar uma base e depois inferir a dimensão.
Passo 2
Para parametrizar, note que
implica
Tomando
e
como parâmetros livres em
, qualquer vetor em
pode ser escrito como
Passo 3
Reescrevendo esse vetor como combinação linear de
e
, temos
Isso mostra que
Passo 4
Para verificar que
e
formam uma base, basta ver que são linearmente independentes:
se
se
então pelas componentes
segue
e
. Portanto são L.I. e geram todo
. O número de vetores da base é
, logo
Resposta
Uma base conveniente é
e
.