Seja W=(x, y, z) in R^3: x+y+z=0. Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)inR^3 : x+y+z=0
e pede uma base e a dimensão de W. O conteúdo é subespaço de R^3 dado por uma única equação linear, ou seja, o núcleo de uma forma linear, e vamos usar parametrização para encontrar uma base e depois inferir a dimensão.

Passo 2

Para parametrizar, note que x+y+z=0 implica
z = -x - y
Tomando x = s e y = t como parâmetros livres em R, qualquer vetor em W pode ser escrito como
(x,y,z) = (s,;t,;-s - t)

Passo 3

Reescrevendo esse vetor como combinação linear de s e t, temos
(s,;t,;-s - t) = s,(1,0,-1) ;+; t,(0,1,-1)
Isso mostra que
W = span(1,0,-1),,(0,1,-1)

Passo 4

Para verificar que (1,0,-1) e (0,1,-1) formam uma base, basta ver que são linearmente independentes:
se
a,(1,0,-1) + b,(0,1,-1) = (0,0,0),
então pelas componentes
(a,;b,;-a - b) = (0,0,0)
segue a=0 e b=0. Portanto são L.I. e geram todo W. O número de vetores da base é 2, logo
dim W = 2

Resposta

Uma base conveniente é
(1,0,-1),(0,1,-1)
e dim W = 2.

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