Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 , com coeficientes em
, isto é, da forma
. Seja
um número real fixo e definamos
Demonstrar que
é uma base de
. Determinar as coordenadas de
em relação a esta base ordenada
.
Passo 1
O espaço vetorial
é o conjunto de todos os polinômios de grau
em
, que tem dimensão
com base canônica
. Definimos três polinômios
onde
é um escalar fixo. Precisamos mostrar que
é base de
(isto é, é linearmente independente e gera
) e depois, para um polinômio arbitrário
determinar suas coordenadas
tais que
Passo 2
Mostramos que
Então
Como o polinômio nulo tem todos os coeficientes iguais a zero, obtemos o sistema
Da terceira equação vem e na primeira
. Logo só há a solução trivial, e
é linearmente independente.
Passo 3
Como
B é um conjunto de
3 vetores em
V e
dim V=3 , a independência linear implica que
B é uma base de
V .
Passo 4
Agora, para expressar
na base
B , procuramos escalares
a1,a2,a3 tais que
Expandindo o lado esquerdo:
Comparando coeficientes com
c0+c1x+c2x^2 , obtemos
Da terceira equação vem
Substituindo na segunda,
E na primeira,
Resposta
As coordenadas de
f(x)=c0+c1x+c2x^2 na base ordenada
B=g1,g2,g3 são