Seja V o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 , com coeficientes em R, isto é, da forma p(x)=c0+c1 x+c2 x^2. Seja t um número real fixo e definamos
g1(x)=1, g2(x)=x+t, g3(x)=(x+t)^2
Demonstrar que B=g1, g2, g3 é uma base de V. Determinar as coordenadas de f(x)=c0+c1 x+c2 x^2 em relação a esta base ordenada B.

Passo 1

O espaço vetorial V é o conjunto de todos os polinômios de grau <= 2 em R, que tem dimensão dim V=3 com base canônica 1,x,x^2. Definimos três polinômios
g1(x)=1, g2(x)=x+t, g3(x)=(x+t)^2,
onde t é um escalar fixo. Precisamos mostrar que B=g1,g2,g3 é base de V (isto é, é linearmente independente e gera V) e depois, para um polinômio arbitrário
f(x)=c0+c1x+c2x^2,
determinar suas coordenadas (a1,a2,a3) tais que
f(x)=a1g1(x)+a2g2(x)+a3g3(x)

Passo 2

Mostramos que
Então
Como o polinômio nulo tem todos os coeficientes iguais a zero, obtemos o sistema
Da terceira equação vem e na primeira . Logo só há a solução trivial, e é linearmente independente.

Passo 3

Como B é um conjunto de 3 vetores em V e dim V=3, a independência linear implica que B é uma base de V.

Passo 4

Agora, para expressar
f(x)=c0+c1x+c2x^2
na base B, procuramos escalares a1,a2,a3 tais que
a1cdot1+a2(x+t)+a3(x+t)^2=c0+c1x+c2x^2
Expandindo o lado esquerdo:
a1+a2(x+t)+a3(x^2+2tx+t^2) =(a1+a2t+a3t^2) +(a2+2a3t),x +a3,x^2
Comparando coeficientes com c0+c1x+c2x^2, obtemos
a1+a2t+a3t^2=c0, a2+2a3t=c1, a3=c2
Da terceira equação vem
a3=c2
Substituindo na segunda,
a2=c1-2t,c2
E na primeira,
a1=c0-t,a2-t^2a3 =c0-tl(c1-2t,c2r)-t^2c2 =c0-t,c1+t^2c2

Resposta

As coordenadas de f(x)=c0+c1x+c2x^2 na base ordenada B=g1,g2,g3 são
l(a1,,a2,,a3r) =l(c0-t,c1+t^2c2,;c1-2t,c2,;c2r)

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