Em C^3 sejam
alpha1=(1,0,-i), alpha2=(1+i, 1-i, 1), alpha3=(i, i, i)
Demonstrar que estes vetores formam uma base de C^3. Quais são as coordenadas do vetor (a, b, c) em relação a esta base?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
alpha1=(1,0,-i), alpha2=(1+i,1-i,1), alpha3=(i,i,i)
é uma base de C^3 e em seguida encontrar escalares x,y,zinC tais que
x,alpha1+y,alpha2+z,alpha3=(a,b,c)
O conteúdo usado será checar independência linear pelo determinante de uma matriz 3times3 e depois resolver um sistema linear em C.

Passo 2

Formamos a matriz M cujas colunas são alpha1,alpha2,alpha3:
M= 1 & 1+i & i 0 & 1-i & i -i& 1 & i
Calculamos
det M =1cdotdet1-i&i1&i -(1+i)cdotdet0&i-i&i +icdotdet0&1-i-i&1
Cada menor é
det1-i&i1&i =(1-i)i-1cdot i=1, det0&i-i&i =-1, det0&1-i-i&1 =1+i
Logo
det M =1-(1+i)(-1)+i(1+i) =1+(1+i)+i(1+i) =1+1+i+i+i^2 =1+1+2i-1 =1+2ineq0
Como det Mneq0, os vetores são LI e formam base de C^3.

Passo 3

Para achar coordenadas x,y,z resolvemos
x(1,0,-i)+y(1+i,1-i,1)+z(i,i,i)=(a,b,c)
Isso dá o sistema em C:
x+(1+i),y+i,z=a, (1-i),y+i,z=b, -,i,x+y+i,z=c

Passo 4

Da segunda equação
(1-i),y+i,z=b Longrightarrow z=l(b-(1-i)yr)/i =(1+i)y -i,b

Passo 5

Substituindo em x+(1+i)y+i,z=a vem
x+(1+i)y+il((1+i)y-i br)=a Longrightarrow x=a-b-2i,y

Passo 6

Agora usamos a terceira equação -i,x+y+i,z=c. Substituindo x e z achamos
(-2+i),y+(1+i)b -i,a =c Longrightarrow y=c+i,a-(1+i)b-2+i
Multiplicando numerador e denominador por -2-i e simplificando dá
y=(a+b-2c)-i(2a+c-3b)5

Passo 7

Em seguida
x=a-b-2i,y =(a+b-2c)-2i(a+b-2c)5
e
z=(1+i)y -i,b =3a-2b-c ;+;i(-a-b-3c)5

Resposta

Os vetores alpha1,alpha2,alpha3 são LI em C^3 (determinante 1+2ineq0), logo formam base.
As coordenadas de (a,b,c) nessa base são
x=(a+b-2c)-2i(a+b-2c)5, y=(a+b-2c)-i(2a+c-3b)5, z=3a-2b-c ;+;i(-a-b-3c)5

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