Em
sejam
Demonstrar que estes vetores formam uma base de
. Quais são as coordenadas do vetor
em relação a esta base?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é uma base de
e em seguida encontrar escalares
tais que
O conteúdo usado será checar independência linear pelo determinante de uma matriz
e depois resolver um sistema linear em
.
Passo 2
Formamos a matriz
cujas colunas são
:
Calculamos
Cada menor é
Logo
Como
det Mneq0 , os vetores são LI e formam base de
C^3 .
Passo 3
Para achar coordenadas
x,y,z resolvemos
Isso dá o sistema em
C :
Passo 4
Da segunda equação
Passo 5
Substituindo em
x+(1+i)y+i,z=a vem
Passo 6
Agora usamos a terceira equação
-i,x+y+i,z=c . Substituindo
x e
z achamos
Multiplicando numerador e denominador por
-2-i e simplificando dá
Passo 7
Em seguida
e
Resposta
Os vetores
alpha1,alpha2,alpha3 são LI em
C^3 (determinante
1+2ineq0 ), logo formam base.
As coordenadas de(a,b,c) nessa base são
As coordenadas de