Considere o espaço vetorial V=M2 times 2(R) munido do produto interno definido por lang<= u, vrang<==traço(u^T v)̧. (O traço de uma matriz é a soma de sua diagonal principal).
Sejam v1=(cc1 & -1 0 & 2) e v2=(cc-2 & 0 1 & 1) vetores de V.
Encontre o ângulo entre os vetores v1 e v2.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=M2times2(R) com o produto interno definido por lang<= u,vrang<==traço(u^T v)ç e pede o ângulo entre os vetores
v1=1 & -1 0 & 2, v2=-2 & 0 1 & 1
Para isso, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo:
costheta = lang<= v1,v2rang<=|v1|;|v2|,
onde |v|=raizlang<= v,vrang<=.

Passo 2

Calculemos o produto interno lang<= v1,v2rang<=. Como lang<= v1,v2rang<==traço(v1^T v2)ç, basta multiplicar v1^T por v2 e somar a diagonal:
v1^T = 1 & 0 -1 & 2, v1^T v2 = -2 & 04 & 2
Logo,
lang<= v1,v2rang<= = (-2) + 2 = 0

Passo 3

Agora as normas. Note que |v1|^2=lang<= v1,v1rang<= é a soma dos quadrados dos elementos de v1:
|v1|^2 = 1^2 +(-1)^2 +0^2 +2^2 = 6, |v2|^2 = (-2)^2 +0^2 +1^2 +1^2 = 6
Portanto |v1| = |v2| = raiz6.

Passo 4

Como lang<= v1,v2rang<==0, temos
costheta = 0raiz6,raiz6 = 0 Longrightarrow theta = pi2

Resposta

O ângulo entre v1 e v2 é pi2 (ou 90^circ).

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