Verdadeiro ( V ) ou falso ( F ). Justifique sua resposta.
A união de dois subespaços vetoriais do espaço
é um subespaço vetorial de
A união de dois subespaços vetoriais do espaço
Passo 1
O enunciado pergunta se, dados dois subespaços vetoriais
e
de um espaço vetorial
, a união
é necessariamente um subespaço de
. O conteúdo aqui é a teoria de subespaços vetoriais, em particular os critérios de fechamento por soma e por multiplicação escalar.
Passo 2
Para que um conjunto
seja subespaço vetorial de
, é necessário e suficiente que:
-
. - Para todo
, tenha-se (fechamento por soma). - Para todo
e todo escalar , tenha-se (fechamento por escalares).
Passo 3
Se
e
forem ambos subespaços,
sempre conterá o vetor zero, então (1) está ok. Porém, pode falhar o fechamento por soma. Considere o exemplo em
:
Então
e
, mas
logo
. Falha o fechamento por soma, portanto
não é subespaço.
Resposta
F
A união de dois subespaços vetoriais nem sempre é um subespaço, salvo casos especiais (por exemplo, ou
).
A união de dois subespaços vetoriais nem sempre é um subespaço, salvo casos especiais (por exemplo,