Verdadeiro ( V ) ou falso ( F ). Justifique sua resposta.
A união de dois subespaços vetoriais do espaço vee é um subespaço vetorial de vee

Passo 1

O enunciado pergunta se, dados dois subespaços vetoriais W1 e W2 de um espaço vetorial vee, a união
W1 cup W2
é necessariamente um subespaço de vee. O conteúdo aqui é a teoria de subespaços vetoriais, em particular os critérios de fechamento por soma e por multiplicação escalar.

Passo 2

Para que um conjunto Usubseteqvee seja subespaço vetorial de vee, é necessário e suficiente que:
  1. Uneqvarnothing.
  2. Para todo u,vin U, tenha-se u+vin U (fechamento por soma).
  3. Para todo uin U e todo escalar alpha, tenha-se alpha uin U (fechamento por escalares).

Passo 3

Se W1 e W2 forem ambos subespaços, W1cup W2 sempre conterá o vetor zero, então (1) está ok. Porém, pode falhar o fechamento por soma. Considere o exemplo em R^2:
W1 = (x,0)mid xinR, W2 = (0,y)mid yinR
Então (1,0)in W1subseteq W1cup W2 e (0,1)in W2subseteq W1cup W2, mas
(1,0)+(0,1) = (1,1)notin W1 e (1,1)notin W2,
logo (1,1)notin W1cup W2. Falha o fechamento por soma, portanto W1cup W2 não é subespaço.

Resposta

F
A união de dois subespaços vetoriais nem sempre é um subespaço, salvo casos especiais (por exemplo, W1subseteq W2 ou W2subseteq W1).

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