Considere os subespaços U e W do espaço vetorial R^4 dados por U=[(1,0,1,1),(1,1,-1,0),(-1,0,0,1)] e W=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+z-t=0. Determine os subespaços vetoriais e suas respectivas dimensões:
U cap W

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
U = span(1,0,1,1),,(1,1,-1,0),,(-1,0,0,1)
e o hiperplano
W = (x,y,z,t)inR^4 mid x - y + z - t = 0
Queremos encontrar Ucap W e sua dimensão. Vamos parametrizar um vetor genérico de U e impor a condição de pertencer a W.

Passo 2

Seja
v = alpha(1,0,1,1) + beta(1,1,-1,0) + gamma(-1,0,0,1)
Então as coordenadas de v são
x = alpha + beta - gamma, y = beta, z = alpha - beta, t = alpha + gamma

Passo 3

Para vin W deve valer
x - y + z - t = 0
Substituindo,
(alpha + beta - gamma) - beta + (alpha - beta) - (alpha + gamma) = 0
que simplifica para
alpha - beta - 2gamma = 0

Passo 4

Da equação alpha - beta - 2gamma=0 segue
alpha = beta + 2gamma
Tomamos beta=s e gamma=t como parâmetros livres, logo
alpha = s + 2t

Passo 5

Substituindo em v obtemos
v = (s+2t)(1,0,1,1) + s(1,1,-1,0) + t(-1,0,0,1)
Agrupando em s e t:
v = sl((1,0,1,1)+(1,1,-1,0)r) ;+; tl(2(1,0,1,1)+(-1,0,0,1)r)
Calculando os vetores:
(1,0,1,1)+(1,1,-1,0) = (2,1,0,1),
2(1,0,1,1)+(-1,0,0,1) = (1,0,2,3)

Passo 6

Portanto
Ucap W = span(2,1,0,1),,(1,0,2,3)
Como esses dois vetores são linearmente independentes, concluímos que
dim(U cap W) = 2

Resposta

Ucap W = span(2,1,0,1),,(1,0,2,3), dim(Ucap W)=2

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