Considere o espaço vetorial V=M2 times 2(R) munido do produto interno definido por lang<= u, vrang<==traço(u^T v)̧. (O traço de uma matriz é a soma de sua diagonal principal).
Sejam v1=(cc1 & -1 0 & 2) e v2=(cc-2 & 0 1 & 1) vetores de V.
Determine a distância do vetor v3=(cc2 & 1 -1 & 3) até o subespaço vetorial S=[v1, v2].

Passo 1

O enunciado pede a distância de
v3=2 & 1 -1 & 3
ao subespaço S=spanv1,v2 em V=M2times2(R) com produto interno
lang<= u,vrang<==traço(u^Tv) ç
Para isso, vamos usar a projeção ortogonal de v3 sobre S e depois calcular a norma do resíduo v3-projS(v3).

Passo 2

Calcular os produtos internos entre v1 e v2, lembrando que
lang<= A,Brang<==sumi,jAijBij.
v1=1 & -1 0 & 2, v2=-2 & 0 1 & 1
lang<= v1,v1rang<= =1^2+(-1)^2+0^2+2^2=6, lang<= v2,v2rang<= =(-2)^2+0^2+1^2+1^2=6,
lang<= v1,v2rang<= =(1)(-2)+(-1)(0)+0cdot1+2cdot1=0
Logo, v1 e v2 são ortogonais.

Passo 3

Como v1,v2 é ortogonal, a projeção de v3 em S é
projS(v3) =lang<= v3,v1rang<=lang<= v1,v1rang<=,v1 +lang<= v3,v2rang<=lang<= v2,v2rang<=,v2
Calculemos primeiro lang<= v3,virang<=:
v3=2 & 1 -1 & 3,
lang<= v3,v1rang<= =2cdot1+1cdot(-1)+(-1)cdot0+3cdot2=7, lang<= v3,v2rang<= =2cdot(-2)+1cdot0+(-1)cdot1+3cdot1=-2
Portanto
projS(v3) =76,v1-26,v2 =761 & -1 0 & 2 -13-2 & 0 1 & 1 =tfrac116 & -tfrac76 -tfrac13 & 2

Passo 4

O resíduo é
r=v3-projS(v3) =2 & 1 -1 & 3 -tfrac116 & -tfrac76 -tfrac13 & 2 =tfrac16 & tfrac136 -tfrac23 & 1

Passo 5

A norma de r é
|r|^2 =l(tfrac16r)^2 +l(tfrac136r)^2 +l(-tfrac23r)^2 +1^2 =1+169+16+3636 =22236 =376
Logo, a distância procurada é
|r|=raiz376

Resposta

raiz376

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