Considere os subespaços U e W do espaço vetorial R^4 dados por U=[(1,0,1,1),(1,1,-1,0),(-1,0,0,1)] e W=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+z-t=0. Determine os subespaços vetoriais e suas respectivas dimensões:
U+W

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos em R^4 o subespaço
U = span(1,0,1,1),;(1,1,-1,0),;(-1,0,0,1)
e o subespaço
W = (x,y,z,t)inR^4 mid x - y + z - t = 0
O objetivo é determinar U+W e sua dimensão. Vamos usar o fato de que
dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(Ucap W)

Passo 2

Calculamos
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem . Da quarta, . Logo os coeficientes são todos nulos, e os vetores são independentes. Assim

Passo 3

O subespaço W é o núcleo do funcional linear
f(x,y,z,t) = x - y + z - t,
em R^4. Um núcleo de um funcional não nulo em R^4 é um hiperplano de dimensão 3. Portanto
dim(W) = 3

Passo 4

Para achar dim(Ucap W), impomos que um vetor genérico de U,
u = a(1,0,1,1) + b(1,1,-1,0) + c(-1,0,0,1),
satisfaça a equação de W: x - y + z - t = 0. Calculando, obtemos a condição linear
a - b - 2c = 0
Isso é um único vínculo sobre (a,b,c)inR^3, logo o espaço de soluções tem dimensão 2. Assim
dim(Ucap W) = 2

Passo 5

Aplicando a fórmula de Grassmann:
dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(Ucap W) = 3 + 3 - 2 = 4
Como R^4 tem dimensão 4, concluímos que
U+W = R^4

Resposta

U+W = R^4 e dim(U+W) = 4.

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