Considere os subespaços U e W do espaço vetorial
dados por
e
. Determine os subespaços vetoriais e suas respectivas dimensões:
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos em
o subespaço
e o subespaço
O objetivo é determinar
e sua dimensão. Vamos usar o fato de que
Passo 2
Calculamos
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem . Da quarta,
. Logo os coeficientes são todos nulos, e os vetores são independentes. Assim
Passo 3
O subespaço
W é o núcleo do funcional linear
em
R^4 . Um núcleo de um funcional não nulo em
R^4 é um hiperplano de dimensão
3 . Portanto
Passo 4
Para achar
dim(Ucap W) , impomos que um vetor genérico de
U ,
satisfaça a equação de
W :
x - y + z - t = 0 . Calculando, obtemos a condição linear
Isso é um único vínculo sobre
(a,b,c)inR^3 , logo o espaço de soluções tem dimensão
2 . Assim
Passo 5
Aplicando a fórmula de Grassmann:
Como
R^4 tem dimensão
4 , concluímos que