Considere o espaço vetorial R^3=(x, y, z) ; x, y, z in R e W subset R^3 munidos das operações usuais de adição e produto por escalar.
A única alternativa em que W é um subespaço vetorial de R^3 é:
a) W=(x, y, z) ; x+y=z
b) W=(x, y, z) ; x^2+y=0
c) W=(x, y, z) ; 0<x<1
d) W=(x, y, z) ; y=x cdot z
e) W=(x, y, z) ; x-y neq 0

Passo 1

O enunciado dá cinco candidatos a subconjuntos W de R^3 e pede para identificar qual deles é de fato um subespaço vetorial. O conteúdo é “subespaços de um espaço vetorial”, e vamos usar o critério de que W é subespaço se, e somente se:
  1. o vetor zero está em W,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Relembrando o critério: para todo u,vin W e todo lambdainR, devemos ter
;u+vin W
;lambda uin W
e também 0in W.

Passo 3

Analisando a) W=(x,y,z);;x+y=z.
  1. O vetor zero (0,0,0) obedece 0+0=0, logo 0in W.
  2. Se u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W, então z1=x1+y1 e z2=x2+y2.
    u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) e z1+z2 = (x1+y1)+(x2+y2) = (x1+x2)+(y1+y2), portanto u+v também satisfaz a equação e fica em W.
  3. Para lambdainR,
    lambda u=(lambda x1,lambda y1,lambda z1) e lambda z1 = lambda(x1+y1) = lambda x1 + lambda y1, de modo que lambda u permanece em W.
    Logo (a) é um subespaço.

Passo 4

Analisando b) W=(x,y,z);;x^2+y=0.
O zero está em W, mas a condição é não linear (envolve x^2). Por exemplo, (1,-1,0) e (1,-1,0) estão em W, mas sua soma (2,-2,0) não satisfaz 2^2+(-2)=2neq0. Falha na soma, logo não é subespaço.

Passo 5

Analisando c) W=(x,y,z);;0<x<1.
O zero (0,0,0) não está em W. Além disso, não é fechado por escalares (se escalar multiplicar por 2, x pode sair do intervalo). Logo não é subespaço.

Passo 6

Analisando d) W=(x,y,z);;y = xcdot z.
O zero satisfaz 0 = 0cdot0. Mas para u=(x1,x1z1,z1) e v=(x2,x2z2,z2),
u+v = l(x1+x2,;x1z1+x2z2,;z1+z2r)
precisaria ter
x1z1 + x2z2 = (x1+x2)(z1+z2),
o que não vale em geral. Falha na soma, logo não é subespaço.

Passo 7

Analisando e) W=(x,y,z);;x-yneq0.
O zero (0,0,0) não satisfaz 0-0neq0. Além disso, não é fechado sob somas nem escalares. Logo não é subespaço.

Resposta

(a)

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