Considere o espaço vetorial
e
munidos das operações usuais de adição e produto por escalar.
A única alternativa em que
é um subespaço vetorial de
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá cinco candidatos a subconjuntos
de
e pede para identificar qual deles é de fato um subespaço vetorial. O conteúdo é “subespaços de um espaço vetorial”, e vamos usar o critério de que
é subespaço se, e somente se:
- o vetor zero está em
, -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Relembrando o critério: para todo
e todo
, devemos ter
e também .
e também
Passo 3
Analisando a)
.
- O vetor zero
obedece , logo . - Se
e em , então e .
e portanto também satisfaz a equação e fica em . - Para
,
e de modo que permanece em .
Logo (a) é um subespaço.
Passo 4
Analisando b)
.
O zero está em , mas a condição é não linear (envolve
). Por exemplo,
e
estão em
, mas sua soma
não satisfaz
. Falha na soma, logo não é subespaço.
O zero está em
Passo 5
Analisando c)
.
O zero não está em
. Além disso, não é fechado por escalares (se escalar multiplicar por 2,
pode sair do intervalo). Logo não é subespaço.
O zero
Passo 6
Analisando d)
.
O zero satisfaz . Mas para
e
,
O zero satisfaz
precisaria ter
o que não vale em geral. Falha na soma, logo não é subespaço.
Passo 7
Analisando e)
.
O zero não satisfaz
. Além disso, não é fechado sob somas nem escalares. Logo não é subespaço.
O zero
Resposta
(a)