A distância do centro da cônica dada pela equação x^2+2 y^2-2 x+4 y+2=0 à origem do sistema cartesiano é igual a:
a) 1 u.c.
b) raiz2 u.c.
c) 2 raiz2 u.c.
d) raiz3 u.c.
e) 2 raiz3 u.c.

Passo 1

O enunciado pede a distância do centro da cônica definida por
x^2 + 2y^2 - 2x + 4y + 2 = 0
à origem do sistema.
Conteúdo: geometria analítica de cônicas, encontrando o centro por completamento de quadrados e depois calculando distância no plano.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados.
x^2 - 2x + 2y^2 + 4y + 2 = 0
Reescrevendo:
x^2 - 2x ;+; 2l(y^2 + 2yr) ;+; 2 = 0
Agora
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1, y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
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x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1, 2l(y^2 + 2yr) = 2l((y + 1)^2 - 1r) = 2(y + 1)^2 - 2
Substituindo na equação inicial:
(x - 1)^2 - 1 ;+; 2(y + 1)^2 - 2 ;+; 2 = 0 Longrightarrow (x - 1)^2 + 2(y + 1)^2 - 1 = 0
Longrightarrow (x - 1)^2 + 2(y + 1)^2 = 1

Passo 3

Da forma canônica acima, o centro da cônica é (1,-1).

Passo 4

A distância do ponto (1,-1) à origem (0,0) é
d = raiz(1-0)^2 + (-1-0)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Resposta

(b) raiz2 u.c.

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