Sejam
um espaço vetorial de dimensão finita e
não vazio:
I. Se
e
, então
é L.I. (Linearmente Independente).
II. Se
contém o vetor nulo de
, então
não é L.D. (Linearmente Dependente).
III. Se
é L.I, então
é L.I.
IV. Se
é L.I, qualquer subconjunto de
é também L.I.
V.
é dito uma base do espaço vetorial
se:
i)
é L.I
ii)
gera
, isto é,
I. Se
II. Se
III. Se
IV. Se
V.
i)
ii)
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço vetorial
de dimensão finita e um subconjunto não vazio
. Precisamos verificar a veracidade de cinco afirmações que envolvem os conceitos de independência linear, dependência linear e base de
. Para isso, usaremos as definições:
- Um conjunto
é linearmente independente (L.I.) se a única combinação linear que gera o vetor nulo é a combinação trivial. - Um conjunto
é linearmente dependente (L.D.) se existe uma combinação linear não trivial que gera o vetor nulo. - Uma base de
é um conjunto que é L.I. e gera .
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Se
e
, então
é L.I.”
Para um único vetor não nulo, a única forma de é com
. Logo não há combinação não trivial que dê zero, e por isso
é L.I.
Portanto, I é verdadeira.
Para um único vetor não nulo, a única forma de
Portanto, I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Se
contém o vetor nulo de
, então
não é L.D.”
Na realidade, se contém
, basta usar a combinação não trivial
para mostrar dependência. Logo todo conjunto que contém o vetor nulo é L.D., e não “não é L.D.”.
Portanto, II é falsa.
Na realidade, se
Portanto, II é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação III: “Se
é L.I., então
é L.I.”
A ideia de independência linear refere-se a conjuntos de vetores, não ao espaço inteiro. Não faz sentido dizer que o espaço é L.I.; fala-se de conjuntos em
. Logo a afirmação está equivocada.
Portanto, III é falsa.
A ideia de independência linear refere-se a conjuntos de vetores, não ao espaço inteiro. Não faz sentido dizer que o espaço
Portanto, III é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação IV: “Se
é L.I., qualquer subconjunto de
é também L.I.”
Isto é um fato padrão em teoria de espaços vetoriais: remover vetores de um conjunto L.I. não cria dependência. Logo todo subconjunto de um conjunto L.I. permanece L.I.
Portanto, IV é verdadeira.
Isto é um fato padrão em teoria de espaços vetoriais: remover vetores de um conjunto L.I. não cria dependência. Logo todo subconjunto de um conjunto L.I. permanece L.I.
Portanto, IV é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação V: definição de base.
Por definição, é base de
se e somente se
i) é L.I.
ii) gera
, isto é,
.
Isso coincide exatamente com o que a afirmação V enuncia.
Portanto, V é verdadeira.
Por definição,
i)
ii)
Isso coincide exatamente com o que a afirmação V enuncia.
Portanto, V é verdadeira.
Resposta
I, IV e V são verdadeiras; II e III são falsas.