Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e A subset V não vazio:
I. Se A=v e v neq 0, então A é L.I. (Linearmente Independente).
II. Se A contém o vetor nulo de V, então A não é L.D. (Linearmente Dependente).
III. Se A é L.I, então V é L.I.
IV. Se A é L.I, qualquer subconjunto de A é também L.I.
V. A é dito uma base do espaço vetorial V se:
i) A é L.I
ii) A gera V, isto é, G(A)=V

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço vetorial V de dimensão finita e um subconjunto não vazio Asubset V. Precisamos verificar a veracidade de cinco afirmações que envolvem os conceitos de independência linear, dependência linear e base de V. Para isso, usaremos as definições:
  1. Um conjunto A é linearmente independente (L.I.) se a única combinação linear que gera o vetor nulo é a combinação trivial.
  2. Um conjunto A é linearmente dependente (L.D.) se existe uma combinação linear não trivial que gera o vetor nulo.
  3. Uma base de V é um conjunto A que é L.I. e gera V.

Passo 2

Analisando a afirmação I: “Se A=v e vneq0, então A é L.I.”
Para um único vetor não nulo, a única forma de lambda v=0 é com lambda=0. Logo não há combinação não trivial que dê zero, e por isso v é L.I.
Portanto, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação II: “Se A contém o vetor nulo de V, então A não é L.D.”
Na realidade, se A contém 0, basta usar a combinação não trivial 1cdot0+0+cdots+0=0 para mostrar dependência. Logo todo conjunto que contém o vetor nulo é L.D., e não “não é L.D.”.
Portanto, II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação III: “Se A é L.I., então V é L.I.”
A ideia de independência linear refere-se a conjuntos de vetores, não ao espaço inteiro. Não faz sentido dizer que o espaço V é L.I.; fala-se de conjuntos em V. Logo a afirmação está equivocada.
Portanto, III é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação IV: “Se A é L.I., qualquer subconjunto de A é também L.I.”
Isto é um fato padrão em teoria de espaços vetoriais: remover vetores de um conjunto L.I. não cria dependência. Logo todo subconjunto de um conjunto L.I. permanece L.I.
Portanto, IV é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação V: definição de base.
Por definição, A é base de V se e somente se
i) A é L.I.
ii) A gera V, isto é, span(A)=V.
Isso coincide exatamente com o que a afirmação V enuncia.
Portanto, V é verdadeira.

Resposta

I, IV e V são verdadeiras; II e III são falsas.

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