Considere o espaço vetorial
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:
a) Encontre o vetor nulo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para encontrar o vetor nulo no espaço vetorial
. Pra isso, vamos precisar entender como são definidas as operações de adição e multiplicação por escalar nesse espaço. Essas operações são diferentes das usuais, então a gente vai usar essas definições específicas para achar o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, o que é o vetor nulo? Em qualquer espaço vetorial, o vetor nulo é aquele que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor. Ou seja, se
é o vetor nulo e
é qualquer vetor em
, então:
Passo 3
Vamos aplicar isso à definição de adição que temos:
Queremos encontrar
tal que:
Isso precisa ser válido para qualquer
, ou seja, para todo
e
.
Passo 4
Analisando as igualdades:
Para que essas equações sejam verdadeiras para qualquer
e
, os escalares que multiplicam devem ser iguais a 1. Isso porque:
- Se
, então tem que ser 1. - Se
, então também tem que ser 1.
Passo 5
Portanto, o vetor nulo
nesse espaço vetorial é:
Resposta
O vetor nulo de
é
.