Considere o espaço vetorial U=(x, y) in R^2 ; x>0 e y>0 com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:
z1 oplus z2=(x1 x2, y1 y2) e alpha otimes(x1, y1)=(x1^alpha, y1^alpha) para z1=(x1, y1), z2=(x2, y2) in U e alpha in R
a) Encontre o vetor nulo de U

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para encontrar o vetor nulo no espaço vetorial U = (x, y) in R^2 ; x > 0 e y > 0 . Pra isso, vamos precisar entender como são definidas as operações de adição e multiplicação por escalar nesse espaço. Essas operações são diferentes das usuais, então a gente vai usar essas definições específicas para achar o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, o que é o vetor nulo? Em qualquer espaço vetorial, o vetor nulo é aquele que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor. Ou seja, se 0 é o vetor nulo e v é qualquer vetor em U , então:
v oplus 0 = v

Passo 3

Vamos aplicar isso à definição de adição que temos:
z1 oplus z2 = (x1 x2, y1 y2)
Queremos encontrar 0 = (a, b) tal que:
(x, y) oplus (a, b) = (x cdot a, y cdot b) = (x, y)
Isso precisa ser válido para qualquer (x, y) in U , ou seja, para todo x > 0 e y > 0 .

Passo 4

Analisando as igualdades:
  1. x cdot a = x
  2. y cdot b = y
Para que essas equações sejam verdadeiras para qualquer x > 0 e y > 0 , os escalares que multiplicam devem ser iguais a 1. Isso porque:
  • Se x cdot a = x , então a tem que ser 1.
  • Se y cdot b = y , então b também tem que ser 1.

Passo 5

Portanto, o vetor nulo 0 nesse espaço vetorial é:
0 = (1, 1)

Resposta

O vetor nulo de U é (1,,1) .

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