Verifique se as transformações lineares abaixo são inversíveis.
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\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\
& T(x, y)=(-2 x+y, 3 x-y)
\end{aligned}
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . O objetivo é verificar se essa transformação é inversível. Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre transformações lineares e como determinar se elas têm uma inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como a transformação mapeia para , a matriz será uma matriz .
Passo 3
Vamos construir a matriz associada à transformação . Para fazer isso, observamos como transforma os vetores da base canônica e :
Assim, a matriz que representa é:
Passo 4
Para verificar se a matriz A é inversível, precisamos calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
O determinante de uma matriz 2 times 2 dada por:
A = a & b c & d
é calculado por:
det(A) = a cdot d - b cdot c
Passo 5
Aplicando a fórmula do determinante à nossa matriz A :
det(A) = (-2) cdot (-1) - (1) cdot 3 = 2 - 3 = -1
Passo 6
Como o determinante det(A) = -1 é diferente de zero, concluímos que a matriz A é inversível.