Verifique se as transformações lineares abaixo são inversíveis.
$
\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\
& T(x, y)=(-2 x+y, 3 x-y)
\end{aligned}
$

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (-2x + y, 3x - y) . O objetivo é verificar se essa transformação é inversível. Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre transformações lineares e como determinar se elas têm uma inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como a transformação mapeia R^2 para R^2 , a matriz será uma matriz 2 times 2 .

Passo 3

Vamos construir a matriz associada à transformação T . Para fazer isso, observamos como T transforma os vetores da base canônica (1,0) e (0,1) :
  • T(1, 0) = (-2*1 + 0, 3*1 - 0) = (-2, 3)
  • T(0, 1) = (-2*0 + 1, 3*0 - 1) = (1, -1)
Assim, a matriz A que representa T é:
A = -2 & 1 3 & -1

Passo 4

Para verificar se a matriz A é inversível, precisamos calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
O determinante de uma matriz 2 times 2 dada por:
A = a & b c & d
é calculado por:
det(A) = a cdot d - b cdot c

Passo 5

Aplicando a fórmula do determinante à nossa matriz A :
det(A) = (-2) cdot (-1) - (1) cdot 3 = 2 - 3 = -1

Passo 6

Como o determinante det(A) = -1 é diferente de zero, concluímos que a matriz A é inversível.

Resposta

A transformação linear T é inversível.

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