Verifique se as transformações lineares abaixo são inversíveis.
$
\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\
& T(x, y, z)=(-x+4 y-z, 2 x+7 y+2 z, 9 x+10 y+9 z) .
\end{aligned}
$

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (-x + 4y - z, 2x + 7y + 2z, 9x + 10y + 9z) é inversível. Para fazer isso, precisamos entender o que torna uma transformação linear inversível. Basicamente, uma transformação é inversível se existe outra transformação que desfaz a primeira. Vamos precisar usar conceitos de matrizes e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Cada coluna da matriz representa como os vetores da base canônica são transformados. Então, a matriz A associada a T é:
A = -1 & 4 & -1 2 & 7 & 2 9 & 10 & 9

Passo 3

Agora, para saber se a transformação é inversível, precisamos verificar se a matriz A é inversível. Uma matriz é inversível se seu determinante é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de A .

Passo 4

Vamos calcular o determinante de uma matriz 3 times 3 usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou optar pela regra de Sarrus para facilitar:
det(A) = (-1)(7)(9) + (4)(2)(9) + (-1)(2)(10) - [(-1)(7)(9) + (4)(2)(9) + (-1)(2)(10)]
Vamos calcular cada termo:
det(A) = (-63) + (72) + (-20) - [(-63) + (72) + (-20)]
det(A) = (-63 + 72 - 20) - (-63 + 72 - 20) = (-11) - (-11) = 0

Passo 5

Então, o determinante de A é zero. Isso significa que a matriz A não é inversível.

Resposta

Portanto, a transformação linear T não é inversível.

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