Verifique se as transformações lineares abaixo são inversíveis.
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\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\
& T(x, y, z)=(-x+4 y-z, 2 x+7 y+2 z, 9 x+10 y+9 z) .
\end{aligned}
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a transformação linear definida por é inversível. Para fazer isso, precisamos entender o que torna uma transformação linear inversível. Basicamente, uma transformação é inversível se existe outra transformação que desfaz a primeira. Vamos precisar usar conceitos de matrizes e determinantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Cada coluna da matriz representa como os vetores da base canônica são transformados. Então, a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, para saber se a transformação é inversível, precisamos verificar se a matriz A é inversível. Uma matriz é inversível se seu determinante é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de A .
Passo 4
Vamos calcular o determinante de uma matriz 3 times 3 usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou optar pela regra de Sarrus para facilitar: