Considere o espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por: e
para e . Determine:
a) o simétrico do vetor
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o simétrico do vetor no espaço vetorial . Estamos trabalhando com vetores em e usando operações de adição e multiplicação por escalar que não são as tradicionais. Para isso, vamos precisar entender como essas operações funcionam nesse espaço específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o simétrico de um vetor. Em espaços vetoriais, o simétrico de um vetor é outro vetor tal que quando você soma e , o resultado é o vetor zero do espaço vetorial. Ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos identificar qual é o vetor zero nesse espaço vetorial . Pelo enunciado, a operação de adição é definida como:
Para que , o vetor deve satisfazer:
Isso só acontece se e . Portanto, o vetor zero é:
Passo 4
Agora que sabemos que o vetor zero é , queremos encontrar o vetor tal que:
Usando a definição da adição no espaço :
Passo 5
Vamos resolver as equações resultantes:
Resolvendo para wx e wy:
wx = 13 wy = 15
Resposta
O simétrico do vetor (3,5) no espaço vetorial U é (13, 15).