Considere o espaço vetorial U=(x, y) in R^2 ; x>0 e y>0 com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por: z1+z2=(x1 x2, y1 y2) e lambda cdot(x1, y1)=(x1^lambda, y1^lambda)
para z1=(x1, y1), z2=(x2, y2) in U e lambda in R. Determine:
a) o simétrico do vetor (3,5) in U

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o simétrico do vetor (3,5) no espaço vetorial U. Estamos trabalhando com vetores em R^2 e usando operações de adição e multiplicação por escalar que não são as tradicionais. Para isso, vamos precisar entender como essas operações funcionam nesse espaço específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o simétrico de um vetor. Em espaços vetoriais, o simétrico de um vetor v é outro vetor w tal que quando você soma v e w, o resultado é o vetor zero do espaço vetorial. Ou seja:
v + w = 0

Passo 3

Agora, precisamos identificar qual é o vetor zero nesse espaço vetorial U. Pelo enunciado, a operação de adição é definida como:
z1 + z2 = (x1 times x2, y1 times y2)
Para que z + z0 = z, o vetor z0 deve satisfazer:
(x times x0, y times y0) = (x, y)
Isso só acontece se x0 = 1 e y0 = 1. Portanto, o vetor zero é:
z0 = (1, 1)

Passo 4

Agora que sabemos que o vetor zero é (1,1), queremos encontrar o vetor w = (wx, wy) tal que:
(3,5) + (wx, wy) = (1,1)
Usando a definição da adição no espaço U:
(3 times wx, 5 times wy) = (1,1)

Passo 5

Vamos resolver as equações resultantes:
3 times wx = 1 5 times wy = 1
Resolvendo para wx e wy:
wx = 13 wy = 15

Resposta

O simétrico do vetor (3,5) no espaço vetorial U é (13, 15).

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