Determine a matriz de cada uma das transformações acima.
$
\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\
& T(x, y)=(2 x+y, y+y)
\end{aligned}
$

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a matriz que representa a transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (2x + y, y + y) . Para resolver isso, vamos precisar entender como associar uma transformação linear a uma matriz usando os vetores da base canônica.

Passo 2

Primeiro, lembremos que para encontrar a matriz de uma transformação linear, precisamos ver como a transformação age nos vetores da base canônica. No caso de R^2 , a base canônica é formada pelos vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) .

Passo 3

Vamos calcular T(e1) . Substituindo x = 1 e y = 0 na transformação:
T(1, 0) = (2 times 1 + 0, 0 + 0) = (2, 0)

Passo 4

Agora, vamos calcular T(e2) . Substituindo x = 0 e y = 1 na transformação:
T(0, 1) = (2 times 0 + 1, 1 + 1) = (1, 2)

Passo 5

Com os resultados de T(e1) e T(e2) , podemos montar a matriz da transformação. Colocamos T(e1) como a primeira coluna e T(e2) como a segunda coluna:
A = 2 & 1 0 & 2

Resposta

A matriz que representa a transformação T é:
2 & 1 0 & 2

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