Considere o espaço vetorial
com as operações
Se
é uma transformação tal que
.
Marque com
o núcleo de
.
- ( )
- ( ) Nuc
- ( ) Nuc
- (
Marque com
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem um espaço vetorial
com umas operações específicas de adição e multiplicação por escalar. A transformação
é definida por
. O objetivo é encontrar o núcleo de
, que é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero desse espaço vetorial.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o núcleo de uma transformação linear nesse contexto e aplicar as operações definidas no espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero do espaço vetorial
.
Matematicamente, isso significa:
Passo 3
Agora, precisamos identificar qual é o vetor zero em
com as operações dadas. A operação de adição em
é definida como:
O vetor zero
deve satisfazer:
Isso implica que:
onde
. Portanto,
e
, logo o vetor zero é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a definição do núcleo:
Substituindo a transformação
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- De
e sabendo que (já que só inclui ), temos . - De
.
Então, a única solução é
.
Resposta
A resposta correta é:
- ( ) Nuc