Considere o espaço vetorial V=(x, y) in R^2, x, y>0 com as operações
c oplus: V times V V ;(a, b) oplus(c, d)=(a times c, b times d) ; e square R times V V ; t square(a, b)=(a^t, b^t)
Se P: V V é uma transformação tal que P(x, y)=(x^2, y).
Marque com x o núcleo de P.
  • ( ) Nuc(P)=(x, y) in V ; x=raizy
  • ( ) Nuc (P)=(x, y) in V ; x=y
  • ( ) Nuc (P)=(x, y) in V ; x=1, y=raiz2
  • ( ) N u c(P)=(x, y) in V ; x=y=1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem um espaço vetorial V = (x, y) in R^2 ,|, x, y > 0 com umas operações específicas de adição e multiplicação por escalar. A transformação P: V V é definida por P(x, y) = (x^2, y) . O objetivo é encontrar o núcleo de P , que é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero desse espaço vetorial.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o núcleo de uma transformação linear nesse contexto e aplicar as operações definidas no espaço V .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de P , denotado por Nuc(P) , é o conjunto de todos os vetores (x, y) in V que são mapeados para o vetor zero do espaço vetorial V .
Matematicamente, isso significa:
Nuc(P) = (x, y) in V ,|, P(x, y) = vetor zero em V

Passo 3

Agora, precisamos identificar qual é o vetor zero em V com as operações dadas. A operação de adição em V é definida como:
(a, b) oplus (c, d) = (a times c, b times d)
O vetor zero 0 deve satisfazer:
(a, b) oplus 0 = (a, b) forall (a, b) in V
Isso implica que:
(a times e1, b times e2) = (a, b)
onde 0 = (e1, e2) . Portanto, e1 = 1 e e2 = 1 , logo o vetor zero é 0 = (1, 1) .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a definição do núcleo:
Nuc(P) = (x, y) in V ,|, P(x, y) = (1, 1)
Substituindo a transformação P :
P(x, y) = (x^2, y) = (1, 1)
Isso nos dá o sistema de equações:
x^2 = 1 y = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. De x^2 = 1 e sabendo que x > 0 (já que V só inclui x > 0 ), temos x = 1 .
  2. De y = 1 .
Então, a única solução é (x, y) = (1, 1) .

Resposta

A resposta correta é:
  • ( ) Nuc P = (x, y) in V ;|; x = y = 1

Exercícios relacionados