Determine os autovalores e autovetores da seguinte transformação linear:
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y, y, z)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear
;T:R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (x+y,;y,;z)
Este é um problema de álgebra linear: vamos representar T por uma matriz na base canônica, calcular o polinômio característico para obter os autovalores e, em seguida, resolver (A-lambda I)v=0 para cada autovalor a fim de achar os autovetores.

Passo 2

Na base canônica e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) temos
T(e1) = (1,0,0), T(e2) = (1,1,0), T(e3) = (0,0,1)
Logo a matriz de T é
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Para obter os autovalores calculamos o determinante de A - lambda I:
A-lambda I = 1-lambda & 1 & 0 0 & 1-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda ,
det(A-lambda I) = (1-lambda),(1-lambda),(1-lambda) = (1-lambda)^3
Portanto o único autovalor é
lambda = 1
com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 4

Agora determinamos o espaço próprio associado a resolvendo
Da primeira linha vem ; não há outras restrições sobre e . Logo
Isso significa que o espaço próprio é

Passo 5

Concluímos que:
  • Há um único autovalor lambda=1 (multiplicidade algébrica 3).
  • O espaço próprio tem dimensão 2 (multiplicidade geométrica 2).
  • Portanto T não é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica.

Resposta

O único autovalor é lambda = 1.
O espaço próprio associado é
(x,0,z)mid x,zin R =span(1,0,0),(0,0,1)

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