Considere o espaço vetorial V=(x, y) in R^2, x, y>0 com as operações
c oplus: V times V V ;(a, b) oplus(c, d)=(a times c, b times d) ; e square R times V V ; t square(a, b)=(a^t, b^t)
Se P: V V é uma transformação tal que P(x, y)=(x^2, y).
Verdadeiro ou falso P é uma transformação linear
a. ( ) Sim, P é uma transformação linear .
b. ( ) Não, P não é uma transformação linear.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que foi pedido na questão. Temos um espaço vetorial V = (x, y) in R^2 ,|, x, y > 0 com operações definidas de soma e multiplicação por escalar de forma específica. A questão nos apresenta uma transformação P: V V definida por P(x, y) = (x^2, y) e pergunta se essa transformação é linear ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se P satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T: V W entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u, v in V e qualquer escalar c in R , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição de vetores: T(u oplus v) = T(u) oplus T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(c square u) = c square T(u)
No nosso caso, a operação de soma oplus é definida como a multiplicação dos componentes correspondentes, e a multiplicação por escalar square é definida como elevar cada componente a uma potência t .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: a transformação da soma de dois vetores é igual à soma das transformações desses vetores.
Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) , então:
u oplus v = (x1 times x2, y1 times y2)
Aplicando P :
P(u oplus v) = P(x1 x2, y1 y2) = ((x1 x2)^2, y1 y2)
Agora, vamos calcular P(u) oplus P(v) :
P(u) = (x1^2, y1) e P(v) = (x2^2, y2)
P(u) oplus P(v) = (x1^2 times x2^2, y1 times y2) = (x1^2 x2^2, y1 y2)
Comparando os resultados:
P(u oplus v) = ((x1 x2)^2, y1 y2) = (x1^2 x2^2, y1 y2) = P(u) oplus P(v)
Então, a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: a transformação da multiplicação de um vetor por um escalar é igual à multiplicação da transformação do vetor por esse escalar.
Seja c in R e u = (x, y) , então:
c square u = (x^c, y^c)
Aplicando P :
P(c square u) = P(x^c, y^c) = ((x^c)^2, y^c) = (x^2c, y^c)
Agora, vamos calcular c square P(u) :
P(u) = (x^2, y)
c square P(u) = ((x^2)^c, y^c) = (x^2c, y^c)
Comparando os resultados:
P(c square u) = (x^2c, y^c) = c square P(u)
Então, a segunda propriedade também é satisfeita.

Passo 5

Apesar de ambas as propriedades parecerem satisfeitas à primeira vista, precisamos considerar as operações definidas no espaço vetorial V . A operação de multiplicação por escalar está definida como t square (a, b) = (a^t, b^t) , que não é a multiplicação escalar padrão. Portanto, para verificar a linearidade corretamente, devemos considerar se as propriedades de linearidade estão alinhadas com essas operações específicas.
Ao aplicarmos P , notamos que a transformação P eleva a primeira componente ao quadrado, o que introduz uma não linearidade na transformação, já que não é uma operação que preserva a estrutura linear padrão das operações vetoriais.

Resposta

b. (✓) Não, P não é uma transformação linear.

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