Considere o espaço vetorial
com as operações
Se
é uma transformação tal que
.
Verdadeiro ou falso
é uma transformação linear
a. ( ) Sim,
é uma transformação linear .
b. ( ) Não,
não é uma transformação linear.
Verdadeiro ou falso
a. ( ) Sim,
b. ( ) Não,
Passo 1
Vamos começar entendendo o que foi pedido na questão. Temos um espaço vetorial
com operações definidas de soma e multiplicação por escalar de forma específica. A questão nos apresenta uma transformação
definida por
e pergunta se essa transformação é linear ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
No nosso caso, a operação de soma
é definida como a multiplicação dos componentes correspondentes, e a multiplicação por escalar
é definida como elevar cada componente a uma potência
.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: a transformação da soma de dois vetores é igual à soma das transformações desses vetores.
Sejam
e
, então:
Aplicando
:
Agora, vamos calcular
:
Comparando os resultados:
Então, a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: a transformação da multiplicação de um vetor por um escalar é igual à multiplicação da transformação do vetor por esse escalar.
Seja
e
, então:
Aplicando
:
Agora, vamos calcular
:
Comparando os resultados:
Então, a segunda propriedade também é satisfeita.
Passo 5
Apesar de ambas as propriedades parecerem satisfeitas à primeira vista, precisamos considerar as operações definidas no espaço vetorial
. A operação de multiplicação por escalar está definida como
, que não é a multiplicação escalar padrão. Portanto, para verificar a linearidade corretamente, devemos considerar se as propriedades de linearidade estão alinhadas com essas operações específicas.
Ao aplicarmos
, notamos que a transformação
eleva a primeira componente ao quadrado, o que introduz uma não linearidade na transformação, já que não é uma operação que preserva a estrutura linear padrão das operações vetoriais.
Resposta
b. (✓) Não,
não é uma transformação linear.