Considere o espaço vetorial V=(x, y) in R^2, x, y>0 com as operações
c oplus: V times V V ;(a, b) oplus(c, d)=(a times c, b times d) ; e square R times V V ; t square(a, b)=(a^t, b^t)
Se P: V V é uma transformação tal que P(x, y)=(x^2, y).
Verdadeiro ou falso. Se 0 é o vetor nulo de V, então P(0)=0 .
  • () Verdadeiro, pois T(0,0)=(0,0).
  • () Falso, pois T(0,0) não existe em
  • () Verdadeiro, pois, T(1,1)=(1,1)
  • () Falso, pois o espaço vetorial V não tem o vetor (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V = (x, y) in R^2 , | , x, y > 0 com operações especiais de adição e multiplicação por escalar. A questão pergunta se, aplicando a transformação P no vetor nulo de V , a gente obtém de volta o vetor nulo. Para resolver, vamos entender o que é espaço vetorial, quais são as operações definidas e analisar a transformação P .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ter um vetor nulo, que é o elemento que, quando adicionado a qualquer vetor, não o altera. No espaço V , a adição é definida como (a, b) oplus (c, d) = (a times c, b times d) . Vamos encontrar o vetor nulo 0 que satisfaz (a, b) oplus 0 = (a, b) .

Passo 3

Para que (a times x, b times y) = (a, b) , precisamos que x = 1 e y = 1 , já que a times 1 = a e b times 1 = b . Então, o vetor nulo em V é 0 = (1, 1) .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformação P nesse vetor nulo. A transformação é dada por P(x, y) = (x^2, y) . Então:
P(1, 1) = (1^2, 1) = (1, 1)

Passo 5

Comparando P(0) = (1, 1) com 0 = (1, 1) , vemos que eles são iguais. Portanto, P(0) = 0 é verdadeiro.

Resposta

Verdadeiro, pois P(1,1) = (1,1) , que é o vetor nulo de V .

Exercícios relacionados