Considere o espaço vetorial
com as operações
Se
é uma transformação tal que
.
Verdadeiro ou falso. Se
é o vetor nulo de
, então
.
-
Verdadeiro, pois
.
-
Falso, pois
não existe em
-
Verdadeiro, pois,
-
Falso, pois o espaço vetorial
não tem o vetor
Verdadeiro ou falso. Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
com operações especiais de adição e multiplicação por escalar. A questão pergunta se, aplicando a transformação
no vetor nulo de
, a gente obtém de volta o vetor nulo. Para resolver, vamos entender o que é espaço vetorial, quais são as operações definidas e analisar a transformação
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ter um vetor nulo, que é o elemento que, quando adicionado a qualquer vetor, não o altera. No espaço
, a adição é definida como
. Vamos encontrar o vetor nulo
que satisfaz
.
Passo 3
Para que
, precisamos que
e
, já que
e
. Então, o vetor nulo em
é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformação
nesse vetor nulo. A transformação é dada por
. Então:
Passo 5
Comparando
com
, vemos que eles são iguais. Portanto,
é verdadeiro.
Resposta
Verdadeiro, pois
, que é o vetor nulo de
.