Se
é triangular (superior ou inferior) e tem a diagonal nula então
. Porquê isso ocorre?
Passo 1
O enunciado diz que
é triangular (superior ou inferior) e que todos os elementos da diagonal principal de
são zero. Queremos entender por que disso decorre que
O conteúdo envolvido é o de matrizes nilpotentes e o teorema de Cayley–Hamilton, além de um argumento direto sobre o “banda” de não-zeros em matrizes estritamente triangulares.
Passo 2
Como
é triangular, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal. Como todos esses elementos são zero, o polinômio característico de
é
Pelo teorema de Cayley–Hamilton,
satisfaz
, i.e.
Passo 3
Podemos ver também sem Cayley–Hamilton: uma matriz triangular com diagonal nula é chamada estritamente triangular e só tem possíveis não-zeros acima (ou abaixo) da diagonal. Em
, as únicas posições não-nulas de uma triangular superior estrita são na 1ª e 2ª super-diagonais. Ao multiplicar duas vezes,
só pode ter não-zeros até a 2ª super-diagonal; ao multiplicar três vezes, a eventual 3ª super-diagonal cai fora da matriz
, forçando
Resposta
Porque
é estritamente triangular em dimensão 3, ela é nilpotente de índice no máximo 3, logo
.