Se A in M3(R) é triangular (superior ou inferior) e tem a diagonal nula então A^3=03 times 3. Porquê isso ocorre?

Passo 1

O enunciado diz que Ain M3(R) é triangular (superior ou inferior) e que todos os elementos da diagonal principal de A são zero. Queremos entender por que disso decorre que
A^3=03times 3
O conteúdo envolvido é o de matrizes nilpotentes e o teorema de Cayley–Hamilton, além de um argumento direto sobre o “banda” de não-zeros em matrizes estritamente triangulares.

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal. Como todos esses elementos são zero, o polinômio característico de A é
p(lambda)=det(A-lambda I)=(-lambda)^3=-lambda^3
Pelo teorema de Cayley–Hamilton, A satisfaz p(A)=0, i.e.
-;A^3=03times3 Longrightarrow A^3=03times3

Passo 3

Podemos ver também sem Cayley–Hamilton: uma matriz triangular com diagonal nula é chamada estritamente triangular e só tem possíveis não-zeros acima (ou abaixo) da diagonal. Em 3times3, as únicas posições não-nulas de uma triangular superior estrita são na 1ª e 2ª super-diagonais. Ao multiplicar duas vezes, A^2 só pode ter não-zeros até a 2ª super-diagonal; ao multiplicar três vezes, a eventual 3ª super-diagonal cai fora da matriz 3times3, forçando
A^3=03times3

Resposta

Porque A é estritamente triangular em dimensão 3, ela é nilpotente de índice no máximo 3, logo A^3=03times3.

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