Considere o espaço vetorial P3(t), dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , com o produto interno lang<= f, grang<==integral-1^1 f(t) g(t) d t. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt na base beta=1, t, t^2, t^3 para determinar uma base f0, f1, f2, f3 ortogonal para P3(t). OBS: Os polinômios f0, f1, f2 e f3 são os quatro primeiros polinômios de Legendre, que aparecem no estudo de equações diferenciais.

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos o processo de Gram–Schmidt ao conjunto de polinômios beta=1, t, t^2, t^3 no espaço P3(t) com produto interno
lang<= f, grang<= = integral-1^1 f(t),g(t),dt
Vamos usar a fórmula de projeção
proju(v) ;=;lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u
e, a partir de cada vetor viinbeta, subtrair suas projeções nos vetores já ortogonais, construindo assim uma base ortogonal f0,f1,f2,f3.

Passo 2

Definimos
f0(t) = 1
Calculamos
lang<= f0,f0rang<= = integral-1^11cdot1,dt = 2
Em seguida, projetamos v1(t)=t sobre f0:
lang<= t,,f0rang<= = integral-1^1tcdot1,dt = 0 Longrightarrow f1(t) = t - 02,f0(t) = t

Passo 3

Agora v2(t)=t^2. Calculamos as projeções em f0 e f1:
lang<= t^2,,f0rang<= = integral-1^1t^2cdot1,dt = tfrac23, lang<= t^2,,f1rang<= = integral-1^1t^2cdot t,dt = 0,
e ainda lang<= f0,f0rang<==2, lang<= f1,f1rang<==integral-1^1t^2,dt=tfrac23. Logo
f2(t) = t^2 ;-;tfrac232,f0(t);-;0cdot f1(t) = t^2 - 13

Passo 4

Finalmente v3(t)=t^3. As projeções em f0,f1,f2 são
lang<= t^3,f0rang<= = 0, lang<= t^3,f1rang<= = integral-1^1t^3cdot t,dt = tfrac25, lang<= t^3,f2rang<= = integral-1^1t^3,(t^2-tfrac13),dt = 0,
com lang<= f1,f1rang<==tfrac23 e lang<= f2,f2rang<=neq0. Assim
f3(t) = t^3 - tfrac25tfrac23,f1(t) = t^3 - 35,t

Resposta

f0(t) = 1 f1(t) = t
f2(t) = t^2 - 13 f3(t) = t^3 - (35) t

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