Considere o espaço vetorial
, dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , com
produto interno
. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt na base
para determinar uma base
ortogonal para
. OBS: Os polinômios
e
são os quatro primeiros polinômios de Legendre, que aparecem no estudo de equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede que apliquemos o processo de Gram–Schmidt ao conjunto de polinômios
no espaço
com produto interno
Vamos usar a fórmula de projeção
e, a partir de cada vetor
, subtrair suas projeções nos vetores já ortogonais, construindo assim uma base ortogonal
.
Passo 2
Definimos
Calculamos
Em seguida, projetamos
sobre
:
Passo 3
Agora
. Calculamos as projeções em
e
:
e ainda
,
. Logo
Passo 4
Finalmente
. As projeções em
são
com
e
. Assim