Considere as funções f(t)= sent e g(t)=cos t no espaço vetorial V das funções contínuas no intervalo [0, pi]. Use o produto interno
lang<= f, grang<==integral0^pi f(t) g(t) d t
para mostrar que as funções dadas são ortogonais nesse espaço.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
f(t)=sin t e g(t)=cos t
são ortogonais no espaço V de funções contínuas em [0,pi] com o produto interno
lang<= f,grang<==integral0^pif(t),g(t),dt
Para provar ortogonalidade, basta verificar que lang<= f,grang<==0.

Passo 2

Vamos usar a identidade trigonométrica
sin t;cos t=tfrac12sin(2t),
para reescrever o integrando:
lang<= f,grang<= =integral0^pisin tcos t,dt =integral0^pitfrac12sin(2t),dt =tfrac12integral0^pisin(2t),dt

Passo 3

Calculemos
integral0^pisin(2t),dt.
Uma primitiva de sin(2t) é -tfrac12cos(2t). Logo,
integral0^pisin(2t),dt =l[-tfrac12cos(2t)r]0^pi =-tfrac12l(cos(2pi)-cos0r) =-tfrac12(1-1) =0

Passo 4

Voltando ao produto interno:
lang<= f,grang<= =tfrac12cdot 0 =0
Como o produto interno é zero, concluímos que sin t e cos t são ortogonais em [0,pi].

Resposta

As funções f(t)=sin t e g(t)=cos t são ortogonais no espaço dado, pois
lang<= f,grang<==0.

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