Considere as funções
sent e
no espaço vetorial V das funções contínuas no intervalo
. Use o produto interno
para mostrar que as funções dadas são ortogonais nesse espaço.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
são ortogonais no espaço de funções contínuas em
com o produto interno
são ortogonais no espaço
Para provar ortogonalidade, basta verificar que
.
Passo 2
Vamos usar a identidade trigonométrica
para reescrever o integrando:
Passo 3
Calculemos
.
Uma primitiva de é
. Logo,
Uma primitiva de
Passo 4
Voltando ao produto interno:
Como o produto interno é zero, concluímos que
e
são ortogonais em
.
Resposta
As funções
e
são ortogonais no espaço dado, pois
.