Há uma operação especial para vetores de R^3 que não está definida em R^n para n neq 3. Essa operação é chamada de produto vetorial e é denotada por u times v. Sejam u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2), então definimos
u times v=(y1 z2-y2 z1, z1 x2-x1 z2, x1 y2-x2 y1)
Mostre que:
a) o vetor u times v é ortogonal aos vetores u e v.
b) Identidade de Lagrange: |u times v|^2=(u cdot u)(v cdot v)-(u cdot v)^2
c) u times v=-(v times u)
d) u times u=0 para todo vetor u

Passo 1

O enunciado apresenta em R^3 o produto vetorial
utimesv =(y1z2-y2z1,;z1x2-x1z2,;x1y2-x2y1)
e pede para mostrar quatro propriedades fundamentais:
a) utimesv é ortogonal a u e a v.
b) Identidade de Lagrange:
|utimesv|^2 =(ucdotu)(vcdotv)-(ucdotv)^2
c) Anticomutatividade: utimesv=-(vtimesu).
d) utimesu=0.
Vamos usar definições de produto escalar, norma e expansão algébrica.

Passo 2

Para a ortogonalidade, calculamos o produto escalar de u com utimesv:
ucdot(utimesv) = x1(y1z2-y2z1) + y1(z1x2-x1z2) + z1(x1y2-x2y1)
Ao expandir, cada termo aparece uma vez com sinal + e outra vez com sinal –, de modo que o somatório é zero. Portanto
ucdot(utimesv)=0
De forma análoga, trocando u por v, obtemos
vcdot(utimesv)=0,
mostrando que utimesv é ortogonal a ambos.

Passo 3

Para a identidade de Lagrange, calculamos o quadrado da norma:
|utimesv|^2 =(y1z2-y2z1)^2 +(z1x2-z2x1)^2 +(x1y2-x2y1)^2
Expandindo e reunindo termos, chega-se a
x1^2(x2^2+y2^2+z2^2) +y1^2(x2^2+y2^2+z2^2) +z1^2(x2^2+y2^2+z2^2) -2(x1x2+y1y2+z1z2)^2
Isto é exatamente
(ucdotu)(vcdotv)- (ucdotv)^2,
que é a identidade de Lagrange desejada.

Passo 4

Para a anticomutatividade, basta comparar coordenadas de utimesv e vtimesu:
vtimesu =(y2z1-y1z2,,z2x1-x2z1,,x2y1-x1y2) =-(y1z2-y2z1,,z1x2-x1z2,,x1y2-x2y1),
logo utimesv=-(vtimesu).

Passo 5

Para utimesu, cada componente é do tipo
(y1z1-y1z1), (z1x1-z1x1), (x1y1-x1y1),
logo todas são zero e
utimesu=0.

Resposta

a) ucdot(utimesv)=0 e vcdot(utimesv)=0.
b) |utimesv|^2=(ucdotu)(vcdotv)-(ucdotv)^2
c) utimesv=-(vtimesu).
d) utimesu=0

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