Há uma operação especial para vetores de
que não está definida em
para
. Essa operação é chamada de produto vetorial e é denotada por
. Sejam
e
, então definimos
Mostre que:
a) o vetor
é ortogonal aos vetores
.
b) Identidade de Lagrange:
c)
d)
para todo vetor
a) o vetor
b) Identidade de Lagrange:
c)
d)
Passo 1
O enunciado apresenta em
o produto vetorial
e pede para mostrar quatro propriedades fundamentais:
a) é ortogonal a
e a
.
b) Identidade de Lagrange:
c) Anticomutatividade: .
d) .
Vamos usar definições de produto escalar, norma e expansão algébrica.
a)
b) Identidade de Lagrange:
c) Anticomutatividade:
d)
Vamos usar definições de produto escalar, norma e expansão algébrica.
Passo 2
Para a ortogonalidade, calculamos o produto escalar de
com
:
Ao expandir, cada termo aparece uma vez com sinal + e outra vez com sinal –, de modo que o somatório é zero. Portanto
De forma análoga, trocando
por
, obtemos
,
mostrando que é ortogonal a ambos.
mostrando que
Passo 3
Para a identidade de Lagrange, calculamos o quadrado da norma:
Expandindo e reunindo termos, chega-se a
Isto é exatamente
que é a identidade de Lagrange desejada.
Passo 4
Para a anticomutatividade, basta comparar coordenadas de
e
:
logo
.
Passo 5
Para
, cada componente é do tipo
,
,
,
logo todas são zero e
.
logo todas são zero e
Resposta
a)
e
.
b)
c) .
d)
b)
c)
d)