Seja U subset R^4 gerado pelos vetores v1=(1,1,1,1), v2=(1,-1,2,2) e v3=(1,2,-3,-4). Aplicando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, determine uma base ortogonal para U.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de U=spanv1,v2,v3subsetR^4 usando o processo de Gram–Schmidt. Vamos usar a fórmula da projeção de um vetor v sobre outro não-nulo u:
proju(v) =lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u,
onde lang<=cdot,cdotrang<= é o produto interno usual em R^4.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor ortogonal como
u1 = v1 = (1,1,1,1)

Passo 3

Para obter u2, subtraímos de v2 sua projeção em u1. Primeiro calculamos
lang<= v2,u1rang<= =1cdot1+(-1)cdot1+2cdot1+2cdot1=4, lang<= u1,u1rang<==4
Logo
u2 =v2-44,u1 =(1,-1,2,2)-(1,1,1,1) =(0,-2,1,1)

Passo 4

Para u3 tiramos de v3 as projeções em u1 e em u2.
  1. Sobre u1:
lang<= v3,u1rang<= =1+2-3-4=-4, proju1(v3) =-1,(1,1,1,1)=(-1,-1,-1,-1)
  1. Sobre u2:
lang<= v3,u2rang<= =1cdot0+2cdot(-2)+(-3)cdot1+(-4)cdot1=-11, lang<= u2,u2rang<==6,
proju2(v3) =-116,(0,-2,1,1) =(0,tfrac113,-tfrac116,-tfrac116)
Subtraindo essas projeções de v3 obtemos
u3 =(1,2,-3,-4)-(-1,-1,-1,-1)-(0,tfrac113,-tfrac116,-tfrac116) =(2,-tfrac23,-tfrac16,-tfrac76)
Para evitar frações, podemos escalar u3 por 6, definindo
u3' =6,u3=(12,-4,-1,-7)

Resposta

Uma base ortogonal de U é
l(1,1,1,1),,(0,-2,1,1),,(12,-4,-1,-7)r

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