Considere o espaço vetorial P3(R) dos polinômios de grau até 3 , e o conjunto B=1,1-x,(1-x)^2, 1-x^3.
(1) Verifique que B é uma base de P3(R).
(2) Encontre a matriz mudança de base [I]C^B da base canônica C para a base B.
(3) Encontre as coordenadas na base B do polinômio p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3, com a0, a1, a2, a3 in R.

Passo 1

O enunciado trabalha em P3(R), espaço de dimensão 4 formado pelos polinômios de grau até 3. O conjunto dado é
B=,1,;1-x,;(1-x)^2,;1-x^3
Precisamos (1) mostrar que esses 4 vetores são base de P3(R) (dimensão 4), (2) achar a matriz de mudança de base [I]C^B da base canônica C=1,x,x^2,x^3 para B, e (3) expressar um polinômio genérico p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 em coordenadas na base B.

Passo 2

Para mostrar que
como polinômio. Expandindo:
Igualando coeficientes a zero, obtemos o sistema
Da terceira e quarta equações vem . Então a segunda dá e a primeira . Logo só há solução trivial, é linearmente independente e, com 4 vetores, forma base de .

Passo 3

A matriz de mudança de base [I]C^B (que leva coordenadas em B para coordenadas em C) tem, como colunas, as coordenadas de cada vetor de B na base canônica C. Escrevendo
1=(1,0,0,0), 1-x=(1,-1,0,0), (1-x)^2=(1,-2,1,0), 1-x^3=(1,0,0,-1),
obtemos
[I]C^B = 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1

Passo 4

Para achar as coordenadas de
p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3
na base B, buscamos (c1,c2,c3,c4) tais que
c1cdot1+c2(1-x)+c3(1-x)^2+c4(1-x^3) =p(x)
Já expandimos à vontade no Passo 2, daí obtemos o sistema
c1+c2+c3+c4=a0, -;c2-2c3=a1, c3=a2, -;c4=a3
Resolvendo em ordem:
c3=a2, c4=-a3, c2=-a1-2a2, c1=a0-(c2+c3+c4) =a0+a1+a2+a3

Resposta

(1) B é base de P3(R) porque é LI em dimensão 4.
(2)
[I]C^B = 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1
(3) As coordenadas de p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 em B são
l(c1,c2,c3,c4r) =l(a0+a1+a2+a3,,-a1-2a2,,a2,,-a3r)

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