Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau até 3 , e o conjunto .
(1) Verifique que é uma base de .
(2) Encontre a matriz mudança de base da base canônica para a base .
(3) Encontre as coordenadas na base do polinômio , com .
Passo 1
O enunciado trabalha em , espaço de dimensão 4 formado pelos polinômios de grau até 3. O conjunto dado é
Precisamos (1) mostrar que esses 4 vetores são base de (dimensão 4), (2) achar a matriz de mudança de base da base canônica para , e (3) expressar um polinômio genérico em coordenadas na base .
Passo 2
Para mostrar que
como polinômio. Expandindo:
Igualando coeficientes a zero, obtemos o sistema
Da terceira e quarta equações vem . Então a segunda dá e a primeira . Logo só há solução trivial, é linearmente independente e, com 4 vetores, forma base de .
Passo 3
A matriz de mudança de base [I]C^B (que leva coordenadas em B para coordenadas em C) tem, como colunas, as coordenadas de cada vetor de B na base canônica C. Escrevendo