Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços do
:
(1)
(2)
.
(1)
(2)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se dois subconjuntos de
são subespaços lineares. Em
cada elemento é uma matriz
O conjunto
impõe a condição
e o conjunto
impõe
. Vamos usar o conteúdo de espaços vetoriais, em particular a definição de subespaço linear.
Passo 2
Um subconjunto
é subespaço linear se, e somente se, satisfaz três condições:
. O vetor zero de
pertence a
.
.
é fechado sob soma: se
então
.
.
é fechado sob multiplicação escalar: se
e
então
.
Passo 3
Analisando :
– O zero de é
e satisfaz
, logo
.
– Se e estão em , então
e
. Sua soma é
– O zero de
– Se e estão em
e como
, essa matriz também satisfaz a condição, logo a soma está em
.
– Para e , temos
. Então
– Para
e
, logo
. Concluímos que
é subespaço linear.
Passo 4
Analisando :
– O zero de é
. Para ele,
e
não satisfazem
porque
. Ou seja,
.
Como não contém o vetor zero, já falha na primeira condição e portanto não é subespaço linear.
– O zero de
Como não contém o vetor zero,