Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços do M2(R) :
(1) V=(lla & b c & d) com b=c
(2) U=(lla & b c & d) com b=c+1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se dois subconjuntos de M2(R) são subespaços lineares. Em M2(R) cada elemento é uma matriz
a & b c & d
O conjunto V impõe a condição b=c e o conjunto U impõe b=c+1. Vamos usar o conteúdo de espaços vetoriais, em particular a definição de subespaço linear.

Passo 2

Um subconjunto Wsubseteq M2(R) é subespaço linear se, e somente se, satisfaz três condições:
1. O vetor zero de M2(R) pertence a W.
2. W é fechado sob soma: se X,Yin W então X+Yin W.
3. W é fechado sob multiplicação escalar: se Xin W e alphainR então alpha Xin W.

Passo 3

Analisando :
– O zero de é e satisfaz , logo .
– Se e estão em , então e . Sua soma é
e como , essa matriz também satisfaz a condição, logo a soma está em .
– Para e , temos . Então
e , logo . Concluímos que é subespaço linear.

Passo 4

Analisando :
– O zero de é . Para ele, e não satisfazem porque . Ou seja, .
Como não contém o vetor zero, já falha na primeira condição e portanto não é subespaço linear.

Resposta

V é subespaço de M2(R) e U não é.

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