Se E é um espaço vetorial e V subset E, e se para todos x, y in V, com x neq y, a reta r que une x a y, r=(1-t) x+t y ; t in R, é tal que r subset V, então dizemos que V é uma variedade afim.
(1) Mostre que o conjunto solução do sistema A x=b é uma variedade afim, onde A x=b é um sistema linear não-homogêneo com m equações e n incógnitas, isto é, A é uma matriz com m linhas e n colunas.
(2) Seja x in V, e suponha que V=x+v ; v in S, em que S subset E. Mostre que S é subespaço vetorial. Nas condições do item (1), interprete S.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
V = xin E mid A x = b
é uma variedade afim em E, isto é, que para quaisquer x,yin V e todo tinR vale
(1-t)x + t y;in V
Depois, fixando um ponto xin V, escrever V como
V = ,x + v mid vin S
e provar que S é subespaço vetorial. No caso de V=xmid A x=b, vamos usar a linearidade da aplicação A.

Passo 2

Sejam x,yin V, isto é, A x=b e A y=b. Para um escalar arbitrário tinR, considere
z = (1-t)x + t y
Pela linearidade de A temos
A z = Al((1-t)x + t yr) = (1-t),A x ;+; t,A y = (1-t),b ;+; t,b = b
Logo zin V. Isso prova que a reta que une x e y está inteira em V, ou seja, V é uma variedade afim.

Passo 3

Fixe agora um ponto xin V e defina
S = ,vin E mid x+v in V
Queremos mostrar que S é subespaço vetorial. Note que 0in S porque x+0=xin V. Se v1,v2in S, então
A(x + v1 + v2) = A(x+v1) + A(v2) = b + 0 = b,
onde usamos que A(x+vi)=b implica A vi=0. Assim v1+v2in S. Similarmente, para alphainR,
A(x + alpha v1) = A x + alpha,A v1 = b + alphacdot 0 = b,
logo alpha v1in S. Portanto S é fechado em soma e multiplicação por escalares, isto é, é subespaço vetorial.

Passo 4

Da relação
A(x+v)=b ;Long<=ftrightarrow; A x + A v = b ;Long<=ftrightarrow; A v = b - A x = 0,
vem que
S = ,vin E mid A v = 0 = ker(A)
Em outras palavras, S é o conjunto de soluções do sistema homogêneo A v = 0.

Resposta

(1) O conjunto solução de A x=b é uma variedade afim porque é fechado em combinações afins pela linearidade de A.
(2) Fixando uma solução x, o conjunto
;S=vmid x+vin V
é subespaço e coincide com ker(A), ou seja, com as soluções do sistema homogêneo A v=0.

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