Se
é um espaço vetorial e
, e se para todos
, com
, a reta
que une
a
, é tal que
, então dizemos que
é uma variedade afim.
(1) Mostre que o conjunto solução do sistema
é uma variedade afim, onde
é um sistema linear não-homogêneo com
equações e
incógnitas, isto é,
é uma matriz com
linhas e
colunas.
(2) Seja
, e suponha que
, em que
. Mostre que
é subespaço vetorial. Nas condições do item (1), interprete
.
(1) Mostre que o conjunto solução do sistema
(2) Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é uma variedade afim em
, isto é, que para quaisquer
e todo
vale
Depois, fixando um ponto
, escrever
como
e provar que
é subespaço vetorial. No caso de
, vamos usar a linearidade da aplicação
.
Passo 2
Sejam
, isto é,
e
. Para um escalar arbitrário
, considere
Pela linearidade de
temos
Logo
. Isso prova que a reta que une
e
está inteira em
, ou seja,
é uma variedade afim.
Passo 3
Fixe agora um ponto
e defina
Queremos mostrar que
é subespaço vetorial. Note que
porque
. Se
, então
onde usamos que
implica
. Assim
. Similarmente, para
,
logo
. Portanto
é fechado em soma e multiplicação por escalares, isto é, é subespaço vetorial.
Passo 4
Da relação
vem que
Em outras palavras,
é o conjunto de soluções do sistema homogêneo
.
Resposta
(1) O conjunto solução de
é uma variedade afim porque é fechado em combinações afins pela linearidade de
.
(2) Fixando uma solução , o conjunto
é subespaço e coincide com , ou seja, com as soluções do sistema homogêneo
.
(2) Fixando uma solução
é subespaço e coincide com