Considere o espaço vetorial de polinômios de grau no máximo 2, P2, com o produto interno definido por
lang<= p, qrang<==integral-1^1 p(x) q(x) d x
Determine se os polinômios p(x)=1, q(x)=x, e r(x)=x^2 são ortogonais entre si.

Passo 1

O enunciado define em P2 o produto interno
lang<= p,qrang<==integral-1^1p(x),q(x),dx
e pede para verificar se os polinômios p(x)=1, q(x)=x e r(x)=x^2 são mutuamente ortogonais, ou seja, se todas as suas combinações têm produto interno zero.

Passo 2

Calcular lang<= p,qrang<=.
lang<= p,qrang<==integral-1^11cdot x,dx =integral-1^1x,dx =l[tfracx^22r]-1^1 =tfrac1^22-tfrac(-1)^22 =0

Passo 3

Calcular lang<= p,rrang<=.
lang<= p,rrang<==integral-1^11cdot x^2,dx =integral-1^1x^2,dx =l[tfracx^33r]-1^1 =tfrac1^33-tfrac(-1)^33 =tfrac13-l(-tfrac13r) =tfrac23neq0

Passo 4

Calcular lang<= q,rrang<=.
lang<= q,rrang<==integral-1^1xcdot x^2,dx =integral-1^1x^3,dx =l[tfracx^44r]-1^1 =tfrac14-tfrac14 =0

Passo 5

Concluímos:
lang<= p,qrang<==0, logo p é ortogonal a q.
lang<= q,rrang<==0, logo q é ortogonal a r.
lang<= p,rrang<==tfrac23neq0, logo p não é ortogonal a r.
Portanto, os três não formam um conjunto ortogonal completo.

Resposta

Os pares l(p,qr) e l(q,rr) são ortogonais, mas l(p,rr) não é.

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