Considere os vetores u=(1,1,1), v=(1,-1,0) e w=(0,1,-1) em R^3. Verifique se eles são linearmente independentes e se formam uma base ortogonal.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores u=(1,1,1), v=(1,-1,0) e w=(0,1,-1) em R^3. Precisamos verificar se eles são linearmente independentes (isto é, se formam base de R^3) e se formam uma base ortogonal (isto é, se são mutuamente perpendiculares). Para isso, usaremos o critério do determinante para independência e o produto escalar para ortogonalidade.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são u, v e w:
A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 1 & 0 & -1
Calculamos o determinante:
det(A) = 1cdotdet-1 & 10 & -1 -1cdotdet1 & 11 & -1 +0 = 1cdot(1)-1cdot(-2) = 1+2 = 3
Como det(A)neq0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam base de R^3.

Passo 3

Agora avaliamos os produtos escalares para checar ortogonalidade:
ucdotv =1cdot1 + 1cdot(-1) + 1cdot0 =0,
ucdotw =1cdot0 + 1cdot1 + 1cdot(-1) =0,
vcdotw =1cdot0 + (-1)cdot1 + 0cdot(-1) =-1neq0
Embora u seja perpendicular a v e a w, nota-se que v e w não são perpendiculares entre si. Logo, não formam base ortogonal.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes (formam base de R^3), mas não formam base ortogonal, pois vcdotw=-1neq0.

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