Considere o operador linear
definido por
onde A é uma matriz simétrica positiva definida. Prove que os autovalores de
são positivos e os autovetores correspondentes são mutuamente ortogonais.
Passo 1
O enunciado define um operador linear
dado por
onde
é uma matriz simétrica
e positiva definida (isto é,
).
Queremos mostrar duas coisas:
Queremos mostrar duas coisas:
- Todo autovalor
de é estritamente positivo. - Autovetores de
associados a autovalores distintos são ortogonais entre si.
Para isso vamos usar a definição de autovalor/autovetor, as propriedades de matrizes simétricas e a forma quadrática
.
Passo 2
Seja
um autovalor e autovetor de
, com
. Então
Multiplique à esquerda por
, obtendo
Pela hipótese de positividade definida temos
e, claro,
. Logo
Isso mostra simultaneamente que
é real (razão de números reais) e
.
Passo 3
Agora sejam
e
dois pares autovalor/autovetor com
. Então
Considere o produto interno
. Por um lado, usando
,
Por outro lado, como
é simétrica,
Comparando as duas expressões,
Como
, segue
, ou seja,
e
são ortogonais.
Resposta
Todos os autovalores de
são estritamente positivos e quaisquer dois autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.