Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(v)=A v
onde A é uma matriz simétrica positiva definida. Prove que os autovalores de A são positivos e os autovetores correspondentes são mutuamente ortogonais.

Passo 1

O enunciado define um operador linear T:R^3toR^3 dado por
T(v)=A,v
onde A é uma matriz simétrica l(A^T=Ar) e positiva definida (isto é,
x^T A x>0forall,xneq0
).
Queremos mostrar duas coisas:
  1. Todo autovalor lambda de A é estritamente positivo.
  2. Autovetores de A associados a autovalores distintos são ortogonais entre si.
Para isso vamos usar a definição de autovalor/autovetor, as propriedades de matrizes simétricas e a forma quadrática x^T A x.

Passo 2

Seja (lambda,v) um autovalor e autovetor de A, com vneq0. Então
A,v=lambda,v
Multiplique à esquerda por v^T, obtendo
v^T A,v = lambda,v^T v
Pela hipótese de positividade definida temos v^T A v>0 e, claro, v^T v=|v|^2>0. Logo
lambda = v^T A vv^T v > 0
Isso mostra simultaneamente que lambda é real (razão de números reais) e lambda>0.

Passo 3

Agora sejam (lambda1,v1) e (lambda2,v2) dois pares autovalor/autovetor com lambda1neqlambda2. Então
A,v1=lambda1 v1 e A,v2=lambda2 v2
Considere o produto interno v2^T A v1. Por um lado, usando A v1=lambda1 v1,
v2^T A v1 = lambda1,v2^T v1
Por outro lado, como A é simétrica,
v2^T A v1 = (A v2)^T v1 = lambda2,v2^T v1
Comparando as duas expressões,
lambda1,v2^T v1 = lambda2,v2^T v1 ;;Longrightarrow;; (lambda1-lambda2),v2^T v1 = 0
Como lambda1neqlambda2, segue v2^T v1=0, ou seja, v1 e v2 são ortogonais.

Resposta

Todos os autovalores de A são estritamente positivos e quaisquer dois autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.

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