Sejam e matrizes simétricas em . Mostre que a soma de duas matrizes ortogonais em relação ao produto interno definido pelo traço não é necessariamente ortogonal a uma terceira matriz , mas calcule um exemplo em que esta propriedade se verifica.
Passo 1
Estamos trabalhando com matrizes ortogonais no sentido usual, ou seja, matrizes tais que
Queremos mostrar duas coisas: ) Em geral a soma de duas matrizes ortogonais não é ortogonal. ) Contudo, existe pelo menos um exemplo em que a soma de duas matrizes ortogonais é também ortogonal.
Passo 2
Exemplo em que a soma não é ortogonal.
Tome em :
Ambas são ortogonais, pois e . Mas
Para verificar se é ortogonal, calculamos
Logo, não é ortogonal.]
Passo 3
Exemplo em que a soma é ortogonal.
Ainda em , considere as rotações