Sejam A e B matrizes simétricas em Mn times n(R). Mostre que a soma de duas matrizes ortogonais em relação ao produto interno definido pelo traço não é necessariamente ortogonal a uma terceira matriz C, mas calcule um exemplo em que esta propriedade se verifica.

Passo 1

Estamos trabalhando com matrizes ortogonais no sentido usual, ou seja, matrizes Qin Mntimes n(R) tais que
Q^TQ = In
Queremos mostrar duas coisas:
1) Em geral a soma de duas matrizes ortogonais não é ortogonal.
2) Contudo, existe pelo menos um exemplo em que a soma de duas matrizes ortogonais é também ortogonal.

Passo 2

Exemplo em que a soma não é ortogonal.
Tome em n=2:
A = I2 = 1 & 0[6pt]0 & 1, B = 1 & 0[3pt]0 & -1
Ambas são ortogonais, pois A^TA=I2 e B^TB=I2. Mas
A + B = 2 & 0[3pt]0 & 0
Para verificar se A+B é ortogonal, calculamos
(A+B)^T(A+B) =2 & 0[3pt]0 & 0 2 & 0[3pt]0 & 0 =4 & 0[3pt]0 & 0 neq I2
Logo, A+B não é ortogonal.]

Passo 3

Exemplo em que a soma é ortogonal.
Ainda em n=2, considere as rotações
R+pi/3 = cos!tfracpi3 & -sin!tfracpi3[6pt] sin!tfracpi3 & cos!tfracpi3 = tfrac12 & -tfracraiz32[6pt] tfracraiz32 & tfrac12 ,
R-pi/3 = cos!tfracpi3 & sin!tfracpi3[6pt] -sin!tfracpi3 & cos!tfracpi3 = tfrac12 & tfracraiz32[6pt] -tfracraiz32 & tfrac12
Ambas são ortogonais ( Rpmpi/3^TRpmpi/3=I2). Soma-se:
R+pi/3 + R-pi/3 = tfrac12 + tfrac12 & -tfracraiz32 + tfracraiz32[6pt] tfracraiz32-tfracraiz32 & tfrac12 + tfrac12 = 1 & 0[3pt]0 & 1 = I2
E I2 é obviamente ortogonal.]

Resposta

A soma de duas matrizes ortogonais não precisa ser ortogonal (por exemplo não é), mas, por exemplo,
mostra um caso em que a soma é ortogonal.

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