Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem 2. Quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta.
b) W=A in V mid A^2=A

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V como o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 2 (sobre algum corpo, por ex. R) e o subconjunto
W = Ain V mid A^2 = A
formado pelas matrizes idempotentes. Para verificar se W é subespaço devemos checar três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Se A,Bin W então A+Bin W.
  3. Se Ain W e lambda é escalar então lambda Ain W.

Passo 2

Verificamos o elemento zero de V. Seja 0 a matriz nula 2times2. Então
0^2 = 0
logo 0in W.

Passo 3

Testamos fechamento em multiplicação por escalar. Tome A = I (a matriz identidade), que satisfaz
A^2 = I^2 = I,
logo Ain W. Agora escolha o escalar lambda = 2. Então
(lambda A)^2 = (2I)^2 = 4I neq 2I = lambda A,
logo lambda Anotin W. Assim falha a propriedade de fechamento por escalar.

Passo 4

Opcionalmente notamos que também falha o fechamento em soma: por exemplo, com A=B=I temos A+B=2I e
(A+B)^2 = (2I)^2 = 4I neq 2I = A+B,
logo A+Bnotin W.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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