Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem 2. Quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
b)
b)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
como o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 2 (sobre algum corpo, por ex.
) e o subconjunto
formado pelas matrizes idempotentes. Para verificar se
é subespaço devemos checar três propriedades:
-
. - Se
então . - Se
e é escalar então .
Passo 2
Verificamos o elemento zero de
. Seja
a matriz nula
. Então
logo
.
Passo 3
Testamos fechamento em multiplicação por escalar. Tome
(a matriz identidade), que satisfaz
logo
. Agora escolha o escalar
. Então
logo
. Assim falha a propriedade de fechamento por escalar.
Passo 4
Opcionalmente notamos que também falha o fechamento em soma: por exemplo, com
temos
e
logo
.