Considere um espaço vetorial de polinômios P 1 e P2, e uma transformação linear T:P1 \rightarrow P 2. Sabe-se que T(1)=x+1 e T(x)=x^{2}-1. Encontre a fórmula geral para T(a+b x).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
\;T: P_1 \to P_2,
onde P_1 é o espaço dos polinômios de grau ≤ 1 (gerado por \{1,x\}) e P_2 o espaço dos polinômios de grau ≤ 2).
Sabemos que
T(1)=x+1, \quad T(x)=x^2-1
e queremos achar uma fórmula geral para
\;T(a+bx),
usando a propriedade de linearidade de T.

Passo 2

Qualquer polinômio de grau ≤ 1 pode ser escrito como combinação linear das bases:
a + b x = a\cdot 1 + b\cdot x.
Pela linearidade de T, temos
T(a+bx) = a\,T(1) + b\,T(x).

Passo 3

Substituindo os valores conhecidos de T(1) e T(x):
T(a+bx) = a\,(x+1) + b\,(x^2-1).

Passo 4

Basta agora distribuir e agrupar termos semelhantes:
a\,(x+1) + b\,(x^2-1) = a\,x + a + b\,x^2 - b = b\,x^2 + a\,x + (a - b).

Resposta

T(a+bx) = b\,x^2 + a\,x + (a - b).

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