Seja T: R^{2} \rightarrow R^{2} uma transformação linear. Sabe-se que T(1,2)=(3,1) e T(2,5)=(7,3). Encontre a fórmula geral para T(x, y).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e informa
T(1,2)=(3,1),\qquad T(2,5)=(7,3).
A ideia é escrever T por uma matriz A na base canônica e determinar seus coeficientes.

Passo 2

Suponha
A=\begin{pmatrix}a & b\\[6pt] c & d\end{pmatrix},
de modo que T(x,y)=A\,(x,y). As condições dadas viram o sistema
\begin{cases} a + 2b = 3,\\[3pt] c + 2d = 1, \end{cases} \quad \begin{cases} 2a + 5b = 7,\\[3pt] 2c + 5d = 3. \end{cases}]

Passo 3

Para a e b: de a+2b=3 tiramos a=3-2b. Substituindo em 2a+5b=7:
2(3-2b)+5b=7\implies 6 -4b +5b=7\implies b=1,\quad a=3-2\cdot1=1.

Passo 4

Para c e d: de c+2d=1 vem c=1-2d. Substituindo em 2c+5d=3:
2(1-2d)+5d=3\implies 2 -4d +5d=3\implies d=1,\quad c=1-2\cdot1=-1.

Passo 5

Logo
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt] -1 & 1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad T(x,y)=\bigl(x+y,\,-x+y\bigr).]

Resposta

T(x,y)=(x+y,\,-x+y)

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