Sendo T: R^{2} \rightarrow R^{2} uma transformação linear tal que T(2,1)=(1,1) e T(1,1)=(1,-1). Qual a expressão para T(x, y) ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 tal que T(2,1)=(1,1) e T(1,1)=(1,-1). Para encontrar T(x,y) vamos usar que (2,1) e (1,1) formam uma base de \mathbb{R}^2 e decompor (x,y) nessa base.

Passo 2

Escrevemos
(x,y) = a\,(2,1) + b\,(1,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2a + b = x,\\\ a + b = y. \end{cases}
Resolvendo, de a + b = y vem a = y - b. Substituindo em 2a + b = x:
2(y - b) + b = x \quad\Longrightarrow\quad 2y - b = x \quad\Longrightarrow\quad b = 2y - x,
e então
a = y - (2y - x) = x - y.

Passo 3

Pela linearidade,
T(x,y) = a\,T(2,1) + b\,T(1,1) = a\,(1,1) + b\,(1,-1) = \bigl(a+b,\;a-b\bigr).
Substituindo a = x-y e b = 2y-x, obtemos
a + b = (x-y) + (2y-x) = y, \quad a - b = (x-y) - (2y-x) = 2x - 3y.

Passo 4

Portanto a fórmula geral é
T(x,y) = \bigl(y,\;2x - 3y\bigr).

Resposta

T(x,y) = (y,\;2x - 3y).

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