Considere o espaço vetorial
com o produto interno canônico. Seja
dada por
e seja
(a) Encontre uma base ortonormal
para
.
(a) Encontre uma base ortonormal
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal
de
onde
e o produto interno é o canônico. Vamos (i) descobrir um gerador de
, (ii) extrair um conjunto independente, e (iii) aplicar Gram–Schmidt para ortonormalizar.
Passo 2
Calculemos as imagens dos vetores da base canônica:
Logo
Passo 3
Note que
, então podemos tomar apenas
como geradores independentes de
. Assim
.
Passo 4
Verificamos que
e
são ortogonais no produto interno canônico:
Basta então normalizar cada um:
Definimos
Então
é uma base ortonormal de
.