Considere o espaço vetorial R^3 com o produto interno canônico. Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(z, x-y,-z) e seja W=Im(T)
(a) Encontre uma base ortonormal BO para W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal BO de
W=Im(T)subsetR^3
onde T(x,y,z)=(z,;x-y,;-z) e o produto interno é o canônico. Vamos (i) descobrir um gerador de W, (ii) extrair um conjunto independente, e (iii) aplicar Gram–Schmidt para ortonormalizar.

Passo 2

Calculemos as imagens dos vetores da base canônica:
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Passo 3

Note que (0,-1,0)=-1cdot(0,1,0), então podemos tomar apenas
v1=(0,1,0), v2=(1,0,-1)
como geradores independentes de W. Assim dim W=2.

Passo 4

Verificamos que v1 e v2 são ortogonais no produto interno canônico:
lang<= v1,v2rang<= =0cdot1+1cdot0+0cdot(-1)=0
Basta então normalizar cada um:
|v1|=raiz0^2+1^2+0^2=1, |v2|=raiz1^2+0^2+(-1)^2=raiz2
Definimos
u1=v1=(0,1,0), u2=1raiz2,v2=l(tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2r)
Então u1,u2 é uma base ortonormal de W.

Resposta

BO=l(0,1,0),;l(tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2r)r

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