Considere o espaço vetorial R^3 com o produto interno canônico. Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(z, x-y,-z) e seja W=Im(T)
O mesmo do item anterior em relação ao produto interno
lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==2 x1 x2+y1 y2+4 z1 z2

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:R^3toR^3 por
T(x,y,z)=(z,;x-y,;-z)
e o subespaço W=Im(T). Agora o produto interno é dado por
lang<=(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)rang<= =2x1x2+y1y2+4z1z2
Queremos encontrar uma base de W e a complementar ortogonal W^perp em relação a esse produto interno.

Passo 2

Para achar Im(T), calculamos as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0,0)=(0,1,0), T(0,1,0)=(0,-1,0), T(0,0,1)=(1,0,-1)
Note que (0,-1,0)=-1cdot(0,1,0). Logo os vetores independentes geradores de W são
v1=(0,1,0), v2=(1,0,-1)
Portanto
W=span,v1,v2

Passo 3

Para achar W^perp, procuramos todos os vetores u=(x,y,z) tais que
lang<= u,v1rang<==0 e lang<= u,v2rang<==0. Escrevemos:
  1. lang<= (x,y,z),(0,1,0)rang<= =2cdot xcdot 0 + ycdot1 +4zcdot0 = y = 0
  2. lang<= (x,y,z),(1,0,-1)rang<= =2cdot xcdot1 + ycdot0 +4zcdot(-1)=2x-4z = 0
Da primeira equação vem y=0. Da segunda, 2x-4z=0, ou seja x=2z. Logo todo vetor em W^perp é da forma
(x,y,z) = (2z,,0,,z) = z,(2,0,1)
Isso mostra que W^perp=span(2,0,1).

Resposta

A base de W é (0,1,0),(1,0,-1) e a base de W^perp (para o produto interno dado) é (2,0,1).

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