No espaço das matrizes 2 times 2, considere o produto interno definido por
lang<= A, Brang<==tr(A^T B)
a) Determine os valores de k para que as matrizes A=[ll1 & 2 0 & 1] e B=[ll0 & 1 k & 0] sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado está no espaço das matrizes 2times2 com o produto interno dado por
lang<= A,Brang<= = trl(A^TBr)
Diz-se que A e B são ortogonais se lang<= A,Brang<==0. Aqui temos
A=1 & 2 0 & 1, B=0 & 1 k & 0,
e queremos achar os k tais que lang<= A,Brang<==0.

Passo 2

Calcular a transposta de A. Lembrando que a transposta troca linhas por colunas, temos
A^T=1 & 0 2 & 1

Passo 3

Multiplicar A^T por B. Fazendo a multiplicação de matrizes,
A^TB = 1 & 0 2 & 1 0 & 1 k & 0 = 1cdot0 + 0cdot k & 1cdot1 + 0cdot0 2cdot0 + 1cdot k & 2cdot1 + 1cdot0 = 0 & 1 k & 2

Passo 4

Calcular a traço de A^TB, que é a soma dos elementos da diagonal principal:
trl(A^TBr) = 0 + 2 = 2
Logo
lang<= A,Brang<= = 2

Passo 5

Para A e B serem ortogonais precisamos de lang<= A,Brang<==0. Mas aqui obtivemos
lang<= A,Brang<= = 2 neq 0
independente de k. Portanto não existe valor de k que anule o produto interno.

Resposta

Não existe valor de k para o qual A e B sejam ortogonais (nenhum k satisfaz lang<= A,Brang<==0).

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