Considere o espaço vetorial
com produto interno
e
com produto interno
Mostre que a função
é linear e preserva produto interno.
Passo 1
O enunciado define dois espaços de funções contínuas em
:
o espaço com produto interno
o espaço
e o espaço
com produto interno
A aplicação
é dada por
Precisamos mostrar que
é linear e que para todo
vale
Passo 2
Para verificar a linearidade, tomemos escalares
e
. Então
Logo
isto é,
é linear.
Passo 3
Agora, para
, calculemos o produto interno em
:
Assim,
preserva o produto interno.
Resposta
para todo
. Portanto,
preserva o produto interno.