Considere o espaço vetorial V=C([0,1], R) com produto interno
lang<= f, grang<=1=integral0^1 t^2 f(t) g(t) d t
e W=C([0,1], R) com produto interno
lang<= f, grang<=2=integral0^1 f(t) g(t) d t
Mostre que a função
T: V W, T(f)(t)=t f(t)
é linear e preserva produto interno.

Passo 1

O enunciado define dois espaços de funções contínuas em [0,1]:
o espaço V com produto interno
lang<= f,grang<=1=integral0^1t^2f(t)g(t),dt
e o espaço W com produto interno
lang<= f,grang<=2=integral0^1f(t)g(t),dt
A aplicação Tcolon Vto W é dada por
T(f)(t)=t,f(t)
Precisamos mostrar que T é linear e que para todo f,gin V vale
lang<= T(f),T(g)rang<=2 ;=;lang<= f,grang<=1

Passo 2

Para verificar a linearidade, tomemos escalares alpha,betainR e f,gin V. Então
Tl(alpha f+beta gr)(t) = tl(alpha f(t)+beta g(t)r) = alpha,t f(t)+beta,t g(t) =alpha,T(f)(t)+beta,T(g)(t)
Logo
T(alpha f+beta g)=alpha,T(f)+beta,T(g),
isto é, T é linear.

Passo 3

Agora, para f,gin V, calculemos o produto interno em W:
lang<= T(f),T(g)rang<=2 =integral0^1T(f)(t),T(g)(t),dt =integral0^1l[t,f(t)r]l[t,g(t)r]dt =integral0^1t^2f(t)g(t),dt =lang<= f,grang<=1
Assim, T preserva o produto interno.

Resposta

T é linear e satisfaz
lang<= T(f),T(g)rang<=2=lang<= f,grang<=1
para todo f,gin V. Portanto, T preserva o produto interno.

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