Seja T in L(C^2, C^2) o operador dado por T(1,0)=(1+i, 2) e T(0,1)=(i, i). Considerando em C^2 o produto interno canônico, determine T^*.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Tcolon C^2toC^2 cujo valor nos vetores da base canônica (1,0) e (0,1) é
T(1,0)=(1+i,2) e T(0,1)=(i,i). Queremos encontrar o adjunto T^* em relação ao produto interno canônico de C^2.

Passo 2

Em coordenadas da base canônica, o operador T corresponde a uma matriz
A= 1+i & i 2 & i ,
onde a primeira coluna é T(1,0) e a segunda é T(0,1).

Passo 3

Sabemos que, no produto interno canônico, a matriz de T^* é a conjugada transposta de A, ou seja
A^*=(A)^T

Passo 4

Primeiro tomamos a conjugada de A:
A = 1-i & -i 2 & -i
Em seguida, transpondo, obtemos
A^*=(A)^T = 1-i & 2 -,i & -,i

Passo 5

As colunas de A^* são as imagens de T^* na base canônica. Logo
T^*(1,0)=(1-i,,-i), T^*(0,1)=(2,,-i)

Resposta

T^*(1,0)=(1-i,,-i)
T^*(0,1)=(2,,-i)

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