Seja V=R^3 com produto interno canônico e seja W o subespaço de M3(R) das matrizes A que satisfazem A^t=-A (as chamadas matrizes antissimétricas). Consideremos em W o seguinte produto interno:
lang<= A, Brang<==12 tr(A cdot B^t), forall A, B in W
Defina T: R^3 longrightarrow W por
T(x1, x2, x3)=(ccc 0 & x1 & x2 -x1 & 0 & x3 -x2 & -x3 & 0 )
Mostre que T é uma transformação linear que preserva produto interno.

Passo 1

O enunciado define o espaço V=R^3 com o produto interno canônico
lang<= x,yrang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3
e o subespaço Wsubset M3( R) das matrizes antissimétricas, com produto interno
lang<= A,Brang<=W ;=;tfrac12,trl(A,B^tr)
A transformação Tcolon R^3to W é dada por
T(x1,x2,x3) = 0 & x1 & x2 -x1 & 0 & x3 -x2 & -x3 & 0
Vamos mostrar que (i) T é linear e (ii) para todos x,yin R^3 vale
lang<= T(x),T(y)rang<=W = lang<= x,yrang<=, ou seja, T preserva o produto interno.

Passo 2

Para a linearidade basta ver que cada entrada de T(x) é combinação linear dos xi. De fato, se x=(x1,x2,x3) e y=(y1,y2,y3) e alpha,betain R, então
T(alpha x + beta y) = 0 & alpha x1+beta y1 & alpha x2+beta y2 -(alpha x1+beta y1) & 0 & alpha x3+beta y3 -(alpha x2+beta y2) & -(alpha x3+beta y3) & 0 =alpha,T(x)+beta,T(y),
logo T é linear.

Passo 3

Agora calculemos lang<= T(x),T(y)rang<=W. Como em W toda matriz é antissimétrica, temos T(y)^t=-T(y), de modo que
lang<= T(x),T(y)rang<=W =tfrac12,trl(T(x),T(y)^tr) =tfrac12,trl(T(x),(-T(y))r) =-tfrac12,trl(T(x),T(y)r)
Falta, portanto, calcular tr(T(x),T(y)).

Passo 4

Multiplicando T(x) por T(y) e somando as entradas da diagonal, obtemos
M11 &= x1(-y1) + x2(-y2) = -(x1 y1 + x2 y2), M22 &= (-x1) y1 + x3 (-y3) = -(x1 y1 + x3 y3), M33 &= (-x2) y2 + (-x3) y3 = -(x2 y2 + x3 y3)
Logo
trl(T(x) T(y)r) = M11 + M22 + M33 = -2 (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3) = -2 lang<= x, y rang<=

Passo 5

Substituindo em lang<= T(x),T(y)rang<=W vem
lang<= T(x),T(y)rang<=W =-tfrac12l(-2,lang<= x,yrang<=r) =lang<= x,yrang<=
Portanto T preserva o produto interno.

Resposta

T é linear e satisfaz lang<= T(x),T(y)rang<=W = lang<= x,yrang<=, ou seja, preserva o produto interno.

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