Encontre uma base para os seguintes subespaços e estenda a uma base de R^3 ou R^4 conforme corresponda.
(a) (x, y, z) in R^3: x=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo a questão. A gente precisa encontrar uma base para o subespaço , que basicamente é o conjunto de todos os vetores em onde a primeira coordenada é zero. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre subespaços vetoriais e bases. Vamos precisar entender o que é uma base e como encontrar vetores que geram o subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o subespaço dado: . Isso significa que todos os vetores nesse conjunto têm a forma , onde e podem ser quaisquer números reais. Então, nosso subespaço é basicamente o plano que passa pela origem e é paralelo ao eixo e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma base para esse subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. No nosso caso, queremos encontrar vetores que, combinados, possam formar qualquer vetor do tipo .

Passo 4

Vamos pensar em vetores simples que atendem à condição v1 = (0, 1, 0) e v2 = (0, 0, 1) . Dois candidatos óbvios são:
Esses vetores são no eixo e no eixo , respectivamente. Eles são linearmente independentes porque nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar.

Passo 5

Vamos verificar se esses vetores realmente geram todo o subespaço. Qualquer vetor y cdot v1 + z cdot v2 = y cdot (0, 1, 0) + z cdot (0, 0, 1) = (0, y, z) pode ser escrito como:
Então, qualquer vetor do subespaço pode ser formado por uma combinação linear de e .

Passo 6

Portanto, é uma base para o subespaço .

Resposta

Uma base para o subespaço é . Para estender a uma base de , podemos adicionar o vetor , formando a base completa .

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