Encontre uma base para os seguintes subespaços e estenda a uma base de
ou
conforme corresponda.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo a questão. A gente precisa encontrar uma base para o subespaço
, que basicamente é o conjunto de todos os vetores em
onde a primeira coordenada é zero. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre subespaços vetoriais e bases. Vamos precisar entender o que é uma base e como encontrar vetores que geram o subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o subespaço dado:
. Isso significa que todos os vetores nesse conjunto têm a forma
, onde
e
podem ser quaisquer números reais. Então, nosso subespaço é basicamente o plano que passa pela origem e é paralelo ao eixo
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma base para esse subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. No nosso caso, queremos encontrar vetores que, combinados, possam formar qualquer vetor do tipo
.
Passo 4
Vamos pensar em vetores simples que atendem à condição
. Dois candidatos óbvios são:
Esses vetores são no eixo
e no eixo
, respectivamente. Eles são linearmente independentes porque nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar.
Passo 5
Vamos verificar se esses vetores realmente geram todo o subespaço. Qualquer vetor
pode ser escrito como:
Então, qualquer vetor do subespaço pode ser formado por uma combinação linear de
e
.
Passo 6
Portanto,
é uma base para o subespaço
.
Resposta
Uma base para o subespaço é
. Para estender a uma base de
, podemos adicionar o vetor
, formando a base completa
.