Verifique se as matrizes
são linearmente independentes em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três matrizes de 2x2 e precisamos verificar se elas são linearmente independentes no conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, denotado por
. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que nos ajuda a saber se uma matriz pode ser escrita como combinação linear das outras.
Passo 2
A independência linear significa que a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Vamos considerar as matrizes dadas:
Queremos encontrar se existem números reais
tais que:
Passo 3
Vamos montar essa combinação linear:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, vamos igualar cada elemento da matriz resultante a zero:
-
(do elemento (1,1)) -
(do elemento (1,2)) -
(do elemento (2,2))
Passo 5
Observamos que as equações 1 e 3 são iguais, então temos:
- Da equação 1:
- Da equação 2:
Substituindo
e
em termos de
, temos:
Passo 6
Se substituirmos esses valores na combinação linear, teremos:
Fatorando
:
Para que essa igualdade seja verdadeira, ou seja, resultar na matriz zero, ou
ou a combinação de matrizes dentro dos parênteses é a matriz zero.
Passo 7
Vamos verificar a combinação
:
Isso significa que a combinação
realmente resulta na matriz zero.
Passo 8
Como encontramos que
e
, e a única solução que satisfaz todas as equações é
, então
e
.
Resposta
As matrizes são linearmente independentes, ou seja, a única solução para a combinação linear igual a zero é
.