Verifique se as matrizes (ll1 & 0 0 & 1) ,(ll1 & 1 0 & 1) ,(ll0 & 1 0 & 0) são linearmente independentes em M2(R).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três matrizes de 2x2 e precisamos verificar se elas são linearmente independentes no conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, denotado por . Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que nos ajuda a saber se uma matriz pode ser escrita como combinação linear das outras.

Passo 2

A independência linear significa que a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Vamos considerar as matrizes dadas:
A = 1 & 0 0 & 1, B = 1 & 1 0 & 1, C = 0 & 1 0 & 0
Queremos encontrar se existem números reais k1 A + k2 B + k3 C = 0 & 0 0 & 0 tais que:

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear:
k1 1 & 0 0 & 1 + k2 1 & 1 0 & 1 + k3 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta em:
k1 + k2 & k2 + k3 0 & k1 + k2 = 0 & 0 0 & 0

Passo 4

Agora, vamos igualar cada elemento da matriz resultante a zero:
  1. (do elemento (1,1))
  2. (do elemento (1,2))
  3. (do elemento (2,2))

Passo 5

Observamos que as equações 1 e 3 são iguais, então temos:
  • Da equação 1: k1 = -k2 k3 = -k2
  • Da equação 2:
Substituindo e em termos de , temos:

Passo 6

Se substituirmos esses valores na combinação linear, teremos:
- k2 A + k2 B - k2 C = 0 & 0 0 & 0
Fatorando k2 (-A + B - C) = 0 & 0 0 & 0 :
Para que essa igualdade seja verdadeira, ou seja, resultar na matriz zero, ou ou a combinação de matrizes dentro dos parênteses é a matriz zero.

Passo 7

Vamos verificar a combinação - 1 & 0 0 & 1 + 1 & 1 0 & 1 - 0 & 1 0 & 0 = -1+1-0 & 0+1-1 0+0-0 & -1+1-0 = 0 & 0 0 & 0 :
Isso significa que a combinação realmente resulta na matriz zero.

Passo 8

Como encontramos que e , e a única solução que satisfaz todas as equações é , então e .

Resposta

As matrizes são linearmente independentes, ou seja, a única solução para a combinação linear igual a zero é .

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