Considere o espaço vetorial R^3 com o produto interno usual. Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base alpha=(1,1,1),(1,1,0),(1,2,0) de R^3 em uma base ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt no espaço R^3 com o produto interno usual de modo a transformar a base
alpha = (1,1,1),,(1,1,0),,(1,2,0)
em uma base ortogonal. Vamos usar as fórmulas
u1 = v1, uk = vk - sumi=1^k-1lang<= vk,uirang<=lang<= ui,uirang<=,ui
para obter vetores ortogonais u1,u2,u3.

Passo 2

Denotemos
v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,2,0)
Iniciamos definindo
u1 = v1 = (1,1,1)

Passo 3

Agora calculamos
u2 = v2 - lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=u1
Temos
lang<= v2,u1rang<= = 1cdot1 + 1cdot1 + 0cdot1 = 2
e
lang<= u1,u1rang<= = 1^2+1^2+1^2 = 3.
Logo
u2 = (1,1,0) - 23(1,1,1) = l(1-tfrac23,,1-tfrac23,,0-tfrac23r) = l(tfrac13,,tfrac13,,-tfrac23r)

Passo 4

Por fim,
u3 = v3 - lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=u1 - lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=u2
Calculamos
lang<= v3,u1rang<= = 1+2+0 = 3
e já sabemos lang<= u1,u1rang<==3, então o primeiro projetor é u1.
Depois
lang<= v3,u2rang<= = 1cdottfrac13 + 2cdottfrac13 + 0cdot(-tfrac23) = 1
e
lang<= u2,u2rang<= = tfrac19+tfrac19+tfrac49 = tfrac69 = tfrac23
Portanto o segundo projetor é tfrac12/3u2 = tfrac32u2.
Logo
u3 = (1,2,0) - (1,1,1) - tfrac32l(tfrac13,tfrac13,-tfrac23r) = (0,1,-1) - l(tfrac12,tfrac12,-1r) = l(-tfrac12,tfrac12,0r)

Passo 5

Para evitar frações, podemos multiplicar u3 por 2 sem perder a ortogonalidade, ficando
u3' = 2,u3 = (-1,1,0)

Resposta

Uma base ortogonal obtida é
l(1,1,1),;l(tfrac13,tfrac13,-tfrac23r),;(-1,1,0)r

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